[복소해석학] 4. 가군과 벡터 공간 및 좌표계

복소해석학

4. 가군과 벡터 공간 및 좌표계

개요: 이번 포스트에서는 가군module과 벡터 공간vector space의 정의에 대해서 알아본다. 그리고 복소평면을 소개하기 위한 단추로 좌표계에 대해서 알아본다. 참고로 이번 포스트는 해석학보다는 대수학에 훨씬 더 가깝다.

경고: 이 글을 이해하기 위해서는 대수적 구조algebraic structure, 체field, 환ring, 아벨군abelian group의 개념과 기본적인 벡터의 성질을 알아야 한다. 벡터장과는 다르다! 또한, 이 포스트를 이해하기 위해서는 종이와 펜(혹은 필기구)이 필요할 것이다.

복소수 집합과 관련한 환과 체에 관해서는 1. 복소수의 정의 및 기본 성질을 읽어보면 조금 도움이 될 것이다. 그리고 군, 환, 체, 아벨군, 대수적 구조의 전체적인 설명에 관해서는 3. 대수적 구조에 대한 공리을 참고하길 바란다.

참고로, 이 글을 처음 보면 생소한 개념일 수도 있겠지만, 한 줄씩 읽어내려가면 그렇게 어려운 내용은 없을 것이라고 예상한다. 단순히 용어나 정의가 생소하기 때문이지, 그 개념 자체가 어려운 것은 아니기 때문이다. 또한, 엄밀한 구성을 위해 기초적인 내용까지 다루는 것도 한 가지 어렵게 느껴지는 이유가 되겠다.

1. 가군

우선 벡터 공간을 알아보기에 앞서 가군에 대해 알아보도록 하자.

가군, 혹은 모듈은 생소한 개념일 수도 있지만, 단순히 말하자면 벡터 공간을 확장한 개념이다. 하지만 이번 포스트에서는 가군을 통해 벡터 공간을 정의한다. 즉, 벡터 공간은 가군의 특수한 경우로써 다룰 것이다.

우선 좌과군에 대해 알아본다. 좌가군은 정의 4.1를 통해 정의된다.

참고로, 이 블로그에서 환ring이라고 부를 때는 지난 포스트를 보면 알겠듯이 일반적으로 곱셈에 대한 항등원이 없는 경우를 말한다. (뇌터식Noether) 곱셈에 대한 항등원이 있는 경우는 유니탈 환unital ring이라고 부를 것이다. 실제로, 곱셈에 대한 항등원이 있는 경우를 환, 없는 경우를 유사환pseudo-ring, 혹은 rng라고 부르는 경우가 있다.

여담이지만, rng에서 i가 빠진 이유는 항등원을 뜻하는 identity의 맨 앞자 i를 제거한 것이다. 물론 영어권에서나 사용될 수 있는 유머(?)이다.

정의 4.1 (좌가군)

아벨군$$$\left( G, +_G \right)$$$이 환 $$$\left( R, +_R, \times_R \right)$$$에 대해서 아래의 공리들을 만족하면 대수적 구조 $$$\left( G, +_G, \circ \right)_R$$$는 $$$R$$$-좌가군left $$$R$$$-module $$$_R G$$$이 된다. 이 때, 연산 $$$\circ$$$에 대해 $$$G$$$는 닫혀있다.

공리 4.1.1 (좌분배법칙)

$$ \forall \lambda \in R : \forall x, y \in G : \lambda \circ \left( x +_G y \right) = \left( \lambda \circ x \right) +_G \left( \lambda \circ y \right)$$

공리 4.1.2 (우분배법칙)

$$ \forall \lambda, \mu \in R : \forall x \in G : \left( \lambda +_R \mu \right) \circ x = \left( \lambda \circ x \right) +_G \left( \mu \circ x \right)$$

공리 4.1.3 (결합법칙)

$$ \forall \lambda, \mu \in R : \forall x \in G : \left( \lambda \times_R \mu \right) \circ x = \lambda \circ \left( \mu \circ x \right)$$

이렇게 덧셈 기호와 곱셈 기호에 아래 첨자까지 붙여가며 생노가다고생을 한 이유는 이러한 연산이 어떤 집합에서 정의된 것인지 확실하게 하기 위함이다.

좌가군이 있으니 우가군도 있을 것이다.

우가군도 좌가군과 완전히 같은 방식으로 정의한다.

정의 4.2 (우가군)

아벨군$$$\left( G, +_G \right)$$$이 환 $$$\left( R, +_R, \times_R \right)$$$에 대해서 아래의 공리들을 만족하면 대수적 구조 $$$\left( G, +_G, \circ \right)_R$$$는 $$$R$$$-우가군right $$$R$$$-module $$$G_R$$$이 된다. 이 때, 연산 $$$\circ$$$에 대해 $$$G$$$는 닫혀있다.

공리 4.2.1 (좌분배법칙)

$$ \forall x \in G : \forall \lambda, \mu \in R : x \circ \left( \lambda +_R \mu \right) = x \circ \lambda +_G x \circ \mu$$

공리 4.2.2 (우분배법칙)

$$ \forall x, y \in G : \forall \lambda \in R : \left( x + y \right) \circ \lambda = x \circ \lambda +_G y \circ \lambda$$

공리 4.2.3 (결합법칙)

$$ \forall x \in G : \forall \lambda, \mu \in R : x \circ \left( \lambda \times_R \mu \right) = \left( x \circ \lambda \right) \circ \mu$$

이렇게 좌가군과 우가군에 대해 알아보았다. 사실 그 공리는 거의 같았다. 단순히 연산의 순서를 바꾼 것 뿐이었다.

그리고 짐작대로 양쪽가군, 혹은 바이모듈bimodule도 존재한다.

정의 4.3 (양쪽가군)

아벨군 $$$\left(G, +_G \right)$$$이 $$$R$$$-좌가군(정의 4.1)인 동시에 $$$S$$$-우가군(정의 4.2)이며, 아래의 성질을 만족하면 대수적 구조 $$$\left( G, +_G, \circ \right)_{RS}$$$는 $$$R$$$-$$$S$$$-양쪽가군bimodule $$$_R G_S$$$이 된다.

$$ \forall \lambda \in R : \forall x \in G : \forall \mu \in S : \left( \lambda \circ x \right) \circ \mu = \lambda \circ \left( x \circ \mu \right)$$

특별히, $$$R$$$-$$$R$$$-양쪽가군은 간단히 $$$R$$$-양쪽가군이라고 부른다. 하지만 환 $$$\left( R, +_R, \times_R \right)$$$이 가환환인 경우, 자명히 좌가군과 우가군은 일치하기 때문에 단순히 $$$R$$$-가군이라고 부른다.


이렇게 가군에 대해 알아보았다. 그리고 지금까지의 경우, 우리는 처음에 언급했듯이 곱셈에 대한 항등원이 없는 경우를 살펴보았다. 이제 곱셈에 대한 항등원, 혹은 유니티unity가 있는 가군에 대해 알아보자.

참고로 유니티는 단위원이라고도 부르지만, 유니탈 가군의 유니탈처럼 형용사로 사용하는 방법이 없어 일관성 있게 유니탈, 유니티를 명칭으로 사용하겠다.

정의 4.4 (유니탈 가군)

유니탈 환 $$$\left( R, +_R, \times_R \right)$$$과 아벨군 $$$\left( G, +_G \right)$$$에 대해서 공리 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3, 4.4.1을 만족하면 유니탈 좌가군, 공리 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, 4.4.1을 만족하면 유니탈 우가군이라고 정의한다. 마찬가지로 공리 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3, 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, 4.4.1을 따른다면 유니탈 양쪽가군이라고 정의하자. 물론 유니탈 환 $$$R$$$이 가환환이라면 단순히 공리 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3, 4.4.1만 만족하여도 좌가군, 우가군이 모두 되므로 간단히 유니탈 가군이라고 부른다.

공리 4.4.1 (유니티의 존재성)

$$ \forall x \in G : 1_R \circ x = x$$

참고로 정의 4.4에서 공리 4.1.1, …, 공리 4.1.3 대신 정의 4.1을 적지 않은 이유는 정의 4.1에서는 $$$\left( R, +_R, \times_R \right)$$$은 유니탈 환이 아니라고 정의했기 때문이다.

부분가군도 아래에서 쓸 일이 있어 정의해둔다.

정의 4.5 (부분가군)

$$$\left( R, +, \circ \right)$$$을 환이라고 하고, $$$\left( S, +, \circ \right)$$$은 $$$R$$$-대수적 구조라고 하자. 또한, $$$T$$$는 $$$S$$$의 닫힌 부분집합이라고 하자.$$$\left( T, +_T, \circ_T \right)_R$$$이 $$$R$$$-가군일 때, 아래의 조건을 만족하면 이를 $$$\left( S, +, \circ \right)_R$$$의 부분가군submodule이라고 정의한다.

$$$+_T$$$는 $$$T \times T$$$에서의 $$$+$$$의 제한이다. 또한, $$$\circ_T$$$는 $$$R \times T$$$에서의 $$$\circ$$$의 제한이다.

참고로, 어떤 연산의 제한이라는 것은 연산의 결과는 같지만, 연산이 행해지던 각 원소들의 정의역이 원래의 정의역의 부분집합이 된다는 것으로, 매우 간단한 개념이다.

이렇게 가군에 대해 알아보았다. 참고로 아래에서 아무 말 없이 가군이라고 하면 좌가군을 의미하는 것이다.

2. 벡터 공간, 벡터, 스칼라

위에서 벡터 공간은 가군의 특수한 경우라고 했다. 그렇다면 벡터 공간이란 어떤 성질을 만족하는 집합일까?

정의 4.6 (벡터 공간)

$$$\left( R, +_R, \times_R \right)$$$이 가환 나눗셈환, 즉 체이고 $$$\left( G, +_G \right)$$$이 아벨군이면서 $$$\left( G, +_G, \circ \right)$$$이 유니탈 $$$R$$$-가군(정의 4.4)이라고 하자.

그렇다면 $$$\left( G, +_G, \circ \right)_R$$$는 $$$R$$$-벡터 공간이 된다.


(가환 나눗셈환은 항상 유니탈 것을 염두해두자.)

정의 4.7 (벡터)

$$$F$$$ -벡터 공간 $$$V$$$의 임의의 원소 $$$\mathbf v$$$를 벡터라고 정의하자.

정의 4.8 (스칼라)

$$$F$$$ -벡터 공간 $$$V$$$가 정의되었을 때, 체 $$$F$$$의 임의의 원소 $$$a$$$는 스칼라라고 정의하자.

정의 4.9 (영벡터)

$$$\left( V, + \right)$$$의 항등원 $$$\mathbf 0$$$을 영벡터라고 정의하자.

조심해야할 것은 바로 영벡터는 일반적으로 스칼라 $$$0$$$과는 다르다는 것이다. 즉, 벡터 공간 $$$V = \mathbb R$$$인 경우를 제외하고는 일반적으로 스칼라가 원소인 $$$F$$$와 벡터가 원소인 $$$V$$$의 덧셈에 대한 항등원은 다르다.

이렇게 우리는 벡터와 스칼라를 정의하였다. 참고로, 벡터의 표기법은 볼드체, 혹은 위에 작은 화살표를 그리는 것이다. 인쇄체에서는 볼드체, 손으로 쓸 때에는 화살표를 많이 사용한다. ($$$\mathbf v \, \text {or} \, \vec v$$$)

3. 좌표계

지금까지 우리는 가군, 벡터 공간, 벡터와 스칼라를 정의하였다. 이를 바탕으로 이제 좌표 공간의 개념을 도입할 수 있고, 결국 복소 평면에 대해서 다룰 수 있게 될 것이다.

우선은 좌표계라는 것이 무엇인지 수학적으로 정의해야 한다. 어떠한 평면 위에 격자를 긋는 것만으로는 수학적이라고 부르기 힘들기 때문이다.

일단, 좌표라는 것은 (아직 정의되지 않았지만,) 일련의 숫자, 혹은 이들의 성분의 합으로 표현될 수 있다. 그리고 이러한 성분의 합은 선형 결합이 정의되어야하기 때문에, 우리는 정의 4.10를 통해서 선형 결합을 정의하도록 한다.

정의 4.10 (선형 결합)

$$$G$$$를 $$$R$$$-가군이라고 하자. 또한, $$$\left< a_n \right>$$$을 $$$G$$$의 원소들로 이뤄진 수열이라고 하자. 그렇다면 원소 $$$b \in G$$$가 아래와 같은 조건을 만족한다면 $$$b$$$가 $$$\left< a_n \right>$$$의 선형결합이라고 정의하자.

$$ \exists \left< a_n \right> \subseteq R : b = \sum^n_{k=1} \lambda_k \circ a_k$$

또한, 어떤 좌표의 위치를 가리키는 벡터는 특정 성분들의 합으로써 유일하게 표현되어야 한다. 즉, 좌표계의 기저(아직 정의되지 않았지만!)는 선형적으로 독립인 성질을 가져야한다. 다시 말해, 우리는 선형 독립을 정의하여야 한다.

정의 4.11 (선형 독립 수열)

$$$G$$$를 덧셈에 대한 항등원이 $$$e$$$인 아벨군, $$$R$$$을 곱셈에 대한 항등원이 $$$0_R$$$, 유니티는 $$$1_R$$$인 유니탈 환이라고 하자. 그리고 $$$\left( G, +_G, \circ \right)_R$$$은 유니탈 $$$R$$$-가군이라고 하자. 아래의 조건을 만족한다면 $$$\left< a_n \right>$$$이 선형 독립이라고 정의하자.

$$ \forall \left< \lambda_n \right> \subseteq R : \sum^n_{ k = 1 } \lambda_k \circ a_k = e \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_n = 0_R$$

선형 독립 수열을 정의했으니 이제 선형 독립인 집합도 정의하여야 한다.

정의 4.12 (선형 독립 집합)

$$$G$$$를 덧셈에 대한 항등원이 $$$e$$$인 아벨군, $$$R$$$을 곱셈에 대한 항등원이 $$$0_R$$$, 유니티는 $$$1_R$$$인 유니탈 환이라고 하자. 그리고 $$$\left( G, +_G, \circ \right)_R$$$은 유니탈 $$$R$$$-가군이고, $$$S \subseteq G$$$이라고 하자.

$$$S$$$에서 택한 서로 다른 원소들로 이뤄진 모든 유한 수열들이 선형 독립 수열이라면 $$$S$$$가 선형 독립이라고 한다.

우리는 이제 어떤 선형 독립 집합의 부분집합도 선형 독립이라는 것을 정리할 것이다. (이번 포스트의 첫 번째 정리이다!)

정리 4.1 (선형 독립 부분집합)

선형 독립인 집합의 부분집합도 선형 독립이다.

[증명]

$$$G$$$를 유니탈 $$$R$$$-가군이라고 하자. $$$\left\{ a_1, a_2, \cdots, a_n \right\}$$$을 선형 독립 집합인 $$$G$$$라고 하자. 정의 4.12에 의해 $$$\left< a_n \right>$$$은 선형 독립이다. $$$\left< b_m \right>$$$을 $$$G$$$에서 택한 서로 다른 원소들로 이뤄진 수열이라 하자.

또, $$$R$$$의 원소들의 수열 $$$\left< \mu_m \right>$$$ 을 $$$\sum^m_{j = 1} \mu_j \circ b_j = e$$$을 만족한다고 하자.

그리고 각 $$$k \in \left\{ 1, 2, \cdots, n \right\}$$$에 대해,

$$ \lambda_k= \begin{cases} \mu_j & : \, j \mbox{ is the unique index s.t. } a_k = b_j \,\,\\ 0_R & \mbox{when } a_k \notin \left\{ b_1, b_2, \cdots, b_m \right\} \end{cases}$$

이라고 하자. (수식 안에는 한글 입력이 안되어서 영어로 표기하였다. 참고로 뜻은 A is the unique index such that(s.t.) B=A는 B를 만족시키는 특별한 첨자이다이다.)

그러면,

$$ e = \sum^m_{j = 1} \mu_j \circ b_j = \sum^n_{k = 1} \lambda_k \circ a_k \mbox{}$$

이다.

그런데 정의 4.11에 의해, 모든 $$$\lambda_k$$$는 $$$0_R$$$이다.

$$$\left\{ \mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_m \right\} \subseteq \left\{ \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n \right\}$$$이므로, 모든 $$$\mu_j$$$도 $$$0_R$$$이다. 따라서 정의 4.11에 의해 $$$\left< b_m \right>$$$도 선형 독립 수열이다.

선형 독립 수열 $$$\left< a_n \right>$$$의 일부 원소들을 골라 만든 수열 $$$\left< b_m \right>$$$도 선형 독립 수열임을 보였으니, $$$\left< a_n \right>$$$에서 어떠한 원소를 골라 새로운 수열을 만들어도 선형 독립 수열이 된다. 이에 따라 선형 독립 집합 $$$G$$$의 부분 집합 또한 선형 독립이 된다. $$$\blacksquare$$$

그리고 마지막으로 생성원generator에 대해서 정의하자. 기저 벡터와 스칼라의 곱들의 합을 통해 모든 벡터를 나타낼 수 있어야 하는데, 이에 관한 것이 바로 생성원에 관한 조건이다. 이에 앞서 부분가군의 교집합은 부분가군임을 보이자.

정리 4.2 (부분가군의 교집합)

어떤 가군의 부분가군의 교집합도 그 가군의 부분가군이다.

[증명]

가군 $$$\left( G, +_G, \circ \right)_R$$$과, 이의 부분가군들을 $$$M$$$라고 하자. ($$$G$$$의 모든 부분가군일 필요가 없다는 점에 유의하자.)

우리는 $$$\bigcap_{ M \leq G } M$$$이 $$$G$$$의 부분가군임을 보이면 된다.

일단 $$$\bigcap_{ M \leq G } M$$$은 $$$G$$$의 부분집합이므로 $$$+_G$$$에 대한 결합법칙과 교환법칙, $$$\circ$$$에 대한 좌분배법칙과 우분배법칙, 결합법칙은 성립한다.

이제 우리는 $$$\bigcap_{ M \leq G } M$$$가 $$$+_G$$$와 $$$\circ$$$에 대해 닫혀있고, $$$+_G$$$에 대한 항등원 $$$e$$$가 존재하며, $$$+_G$$$에 대한 역원이 존재함을 보이면 된다.

우선 항등원 $$$e$$$의 존재 및 $$$\bigcap_{ M \leq G } M \neq \varnothing$$$를 보이고, $$$+_G$$$에 대해 닫혀있다는 것과 역원이 존재한다는 것을 보인 후, 맨 나중에 $$$\circ$$$에 대해서도 닫혀있음을 보이겠다.

일단 $$$M$$$은 부분가군이었으므로, 모든 $$$M$$$에 대해 $$$e \in M$$$이다. 따라서 $$$e \in \bigcap_{ M \leq G } M$$$이다. 그리고 이에 따라 $$$\bigcap_{ M \leq G } M \neq \varnothing$$$이 성립된다.

어떤 $$$a, b \in \bigcap_{ M \leq G } M$$$에 대해서, $$$a, b$$$는 모든 $$$M$$$의 원소이다. $$$M$$$은 계속 강조했듯이 부분가군이므로, $$$+_G$$$에 대해서 닫혀있고, 이들의 역원에 대해서도 닫혀있다. $$$a +_G b = c$$$이고, $$$a, b$$$의 역원이 각각 $$$a^{-1}, b^{-1}$$$이라고 하면, $$$c, a^{-1}, b^{-1} \in M$$$이므로 $$$c, a^{-1}, b^{-1}\in \bigcap_{ M \leq G } M$$$이다. 따라서 $$$\bigcap_{ M \leq G } M$$$은 $$$+_G$$$와 역원에 대해 닫혀있다.

마찬가지로 $$$\circ$$$에 대해서도 닫혀있다는 것을 동일하게 보이면 된다. $$$\lambda \in R$$$과 $$$a \in \bigcap_{ M \leq G } M$$$에 대해, $$$a \in M$$$이므로 $$$\lambda \circ a \in M$$$이고, 따라서 $$$\lambda \circ a \in \bigcap_{ M \leq G } M$$$이다.

따라서 $$$\bigcap_{ M \leq G } M$$$도 $$$G$$$의 부분가군이다.

$$$\blacksquare$$$

정의 4.13 (가군의 생성원)

$$$\left( G, +_G, \circ \right)_R$$$를 $$$R$$$-가군이라고 하고, $$$S \subseteq G$$$이라고 하자. 또, $$$\left< S \right>$$$는 $$$S$$$를 부분집합으로 가지는 최소의 $$$G$$$의 부분가군이라고 하자. 다시 말해, 아래의 조건을 만족한다고 하자. ($$$M$$$은 $$$G$$$의 부분가군이며, 마찬가지로 아래의 집합도 정리 4.2에 의해 부분가군이다.)

$$ \left< S \right> = \bigcap_{S \subseteq M \leq G} M$$

이 때, $$$S$$$를 부분가군 $$$\left< S \right>$$$의 생성원이라고 정의하자.


이러한 생성원이 도대체 좌표계와 무슨 상관이 있는지는 정리 4.3를 통해 알아볼 것이다.

정리 4.3

$$$\left( G, +_G, \circ \right)_R$$$를 유니탈 $$$R$$$-가군이라고 하고, $$$S \subseteq G$$$이라고 하자. 그렇다면, $$$\left< S \right>$$$는, $$$a_1, \cdots, a_n \in S$$$이고, $$$\lambda_1, \cdots, \lambda_n \in R$$$일 때 $$$\sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i$$$ 꼴을 모두 가지며, 이외의 원소는 가지지 않는다.

여기서 유의해야할 것은 정의 4.13에서 $$$G$$$는 유니탈 가군이 아니었지만, 정리 4.3에서는 유니탈 가군이라는 조건이 붙었다.

[증명]

이 증명에서 모든 가군은 유니탈하다는 것을 염두해두자.

아래와 같이 정의하자.

$$ T = \left\{ x : x = \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i, \,\, a_1, \cdots, a_n \in S, \,\, \lambda_1, \cdots, \lambda_n \in R \right\}$$

우리는 $$$T \subseteq \left< S \right>$$$이면서 $$$T \supseteq \left< S \right>$$$이면 $$$T = \left< S \right>$$$이라는 사실을 이용할 것이다.

우선, $$$T \subseteq \left< S \right>$$$을 보이자.

$$$T$$$의 임의의 원소 $$$x$$$를 잡으면, $$$x = \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i$$$인 $$$ a_1, \cdots, a_n \in S$$$와 $$$\lambda_1, \cdots, \lambda_n \in R$$$이 존재한다. 즉,

$$ \forall x \in T : \exists a_1, \cdots, a_n \in S : \exists \lambda_1, \cdots, \lambda_n \in R : x = \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i$$

이다. 그런데, 정의 4.13에서 $$$S \subseteq M$$$이었으므로, $$$ a_1, \cdots, a_n \in M$$$이다. $$$M$$$은 부분가군이므로, 각 $$$\lambda_i \circ a_i$$$도 $$$M$$$의 원소이며, $$$+_G$$$에 대해 닫혀있으므로 $$$\sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i \in M$$$이다. 결국 $$$T \subseteq M$$$이다. 즉, $$$T \subseteq \bigcap_{S \subseteq M \leq G} M = \left< S \right>$$$이다.

이제 $$$T \supseteq \left< S \right>$$$을 보이자. 이를 위해서는 $$$T$$$가 $$$S$$$를 포함하는 $$$G$$$의 부분가군임을 보이면 된다. 왜냐하면, 이런 경우 $$$T$$$는 여러 $$$M$$$ 중에 하나가 될 것이므로 자동적으로 $$$T \supseteq \bigcap_{S \subseteq M \leq G} M = \left< S \right>$$$이 되기 때문이다.

일단 $$$T$$$가 $$$G$$$의 부분가군임을 보이자.

$$$G$$$는 가군이며 $$$S \subseteq G$$$이기 때문에, $$$a_1, \cdots, a_n \in S$$$와 $$$\lambda_1, \cdots, \lambda_n \in R$$$에서 $$$\sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i \in G$$$이다. 즉,

$$ \forall a_1, \cdots, a_n \in S : \forall \lambda_1, \cdots, \lambda_n \in R : \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i \in G$$

이다. 따라서 $$$T \subseteq G$$$이다.

그리고 $$$T \neq \varnothing$$$이 자명한 것이, 바로 $$$n = 0$$$일 때의 원소, 즉 가수(더해지는 수summand)가 없을 경우를 $$$e$$$로 하기로 하였기 때문이다.

$$$T \subseteq G$$$이며 $$$T \neq \varnothing$$$이라는 사실로부터 $$$T$$$에서도 $$$+_G$$$와 $$$\circ$$$, 역원이 정의될 수 있다. (닫혀있는지는 몰라도 말이다.) 또한, 이들 연산에 관한 법칙, 즉 공리 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3와 정의 3.5를 만족시킨다. 이제 우리는 $$$T$$$가 각 연산과 역원에 대해 닫혀있다는 것만 하면 된다.

일단 $$$T = \left\{ x : x = \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i, \,\, a_1, \cdots, a_n \in S, \,\, \lambda_1, \cdots, \lambda_n \in R \right\}$$$라는 정의와 $$$-1_R \in R$$$을 통해 $$$x = \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i \in T \Rightarrow \left( -1_R \right) \circ x = \left( -1_R \right) \circ \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i = \sum_{i = 1}^n \left(-\lambda \right)_i \circ a_i = -x \in T$$$이고, 따라서 역원에 대해 닫혀있음을 알 수 있다.

또한, $$$\circ$$$에 대해 닫혀있는 것은 자명하다. $$$\sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i$$$에서 앞에 새로운 $$$\lambda \in R$$$에 대해 $$$\circ$$$를 취하면 좌분배법칙(공리 4.1.1)에 의해 다시 $$$T$$$의 조건에 만족되기 때문이다.

이제 $$$+_G$$$에 대해서도 닫혀있다는 것을 보이자. $$$x, y \in T$$$이면, $$$\lambda_i, \eta_j$$$가 $$$R$$$의 원소이며, $$$a_i, b_j$$$가 $$$S$$$의 원소인 $$$x = \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i$$$와 $$$y = \sum_{j = 1}^m \eta_j \circ b_j$$$로 나타내어진다. 이 둘의 합은 $$$z = \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i + \sum_{j = 1}^m \eta_j \circ b_j$$$이다. 아래와 같은 수열을 정의하자.

$$ \mu_k = \begin{cases} \lambda_k & : 1 \leq k \leq n \\ \eta_{n + m - k + 1} & : n < k \leq n + m \end{cases} \\ c_k = \begin{cases} a_k & : 1 \leq k \leq n \\ b_{n + m - k + 1} & : n < k \leq n + m \end{cases}$$

그렇다면 $$$z = \sum_{k = 1}^{n + m} \mu_k \circ c_k$$$이므로 $$$z \in T$$$가 된다. 따라서 $$$T$$$는 $$$G$$$의 부분군이다.

마지막으로 $$$S \subseteq T$$$를 보이면 된다. 임의의 원소 $$$s \in S$$$를 잡자. $$$T = \left\{ x : x = \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i, \,\, a_1, \cdots, a_n \in S, \,\, \lambda_1, \cdots, \lambda_n \in R \right\}$$$에서 $$$n = 1$$$, $$$\lambda_1 = 1_R$$$, $$$a_1 = s$$$라고 하면, $$$s = \lambda_1 \circ a_1 \in T$$$가 되어 임의의 $$$S$$$의 원소는 $$$T$$$의 원소도 된다. 다시 말해, $$$S \subseteq T$$$이다.

결국 $$$\left< S \right> = \bigcap_{S \subseteq M \leq G} M = T \cap \bigcap_{S \subseteq M \leq G} M \subseteq T$$$인데, 위에서 $$$T \subseteq \left< S \right>$$$이었으므로 $$$T = \left< S \right>$$$이다.

$$$\blacksquare$$$

정의 4.13과 정리 4.3의 의의는 바로 유니탈 $$$R$$$-가군 $$$G$$$의 부분집합 $$$S$$$의 생성원 $$$\left< S \right>$$$는 $$$S$$$의 원소들의 가능한 모든 선형 결합(만약 연산들을 알맞게 정의한다면)들을 원소로 가진다는 것이다! 드디어 뭔가 좌표계스러운 느낌이 난다!

정의 4.14 (기저)

$$$\left( G, +_G, \circ \right)_R$$$을 유니탈 $$$R$$$-가군이라고 하자. $$$G$$$의 선형 독립 부분집합(정의 4.12 및 정리 4.1)이면서 생성원(정의 4.13)인 집합을 $$$G$$$의 기저라고 정의한다.

정의 4.15 (자유 가군)

기저(정의 4.14)가 정의되어 있는 유니탈 $$$R$$$-가군 $$$G$$$을 자유 가군이라고 정의한다.


아직은 우리가 원하는 기저가 정의되지 않았다. 기저에 순서의 개념이 도입되지 않았기 때문이다.

정의 4.16 (순서기저)

$$$G$$$를 자유 유니탈 $$$R$$$-가군이라고 하자. $$$\left\{ a_1, \cdots, a_n \right\}$$$이 $$$G$$$의 기저일 때, 수열 $$$\left< a_k \right>_{1 \leq k \leq n}$$$을 $$$G$$$의 순서기저라고 정의한다.

드디어 기다리고 기다리던 좌표계의 정의를 내릴 수 있게 되었다.

정의 4.17 (좌표계와 좌표)

자유 유니탈 $$$R$$$-가군 $$$G$$$의 순서기저 $$$\left< a_k \right>_{1 \leq k \leq n}$$$을 $$$G$$$의 좌표계라고 정의한다. 또한, $$$x \in G$$$가 $$$\sum_{k = 1}^n \lambda_k \circ a_k$$$로 표현될 때, 스칼라 $$$\lambda_k$$$를 $$$\left< a_k \right>$$$에 대한 $$$x$$$의 좌표라고 정의한다.


좌표계가 정의되었으니 이제 원점을 정의해야겠다.

정의 4.18 (가군의 영벡터)

$$$R$$$ -가군 $$$\left( G, +_G, \circ \right)_R$$$에서 $$$+_G$$$에 대한 항등원 $$$e$$$를 영벡터 $$$\mathbf 0$$$라고 정의한다.

정의 4.19 (원점)

좌표계의 원점은 영벡터이다.


복소평면을 정의하기 위한 밑바탕은 거의 다 마쳤다. 아마 다음 포스트는 짧을 수도 있다. 물론, 우리는 평면을 정의하려들지 않을 것이다. 비록 엄밀함을 추구하기는 하지만, 평면을 정의하기 위해서는 타르스키의 기하학에 대한 공리 23개를 알아보고, 이를 또 알아보기 위해서는…이렇게 물고 늘어지다가 나중에는 논리와 형식적 언어라는 개념까지 정의해야 하므로, 적정한 선에서 끊기로 한다.

이번 포스트도 상당히 깊게 파고들었지만, 이정도가 한계인 것 같다. 나머지는 수학자들에게 맡겨놓자!

하지만, 이 [복소해석학] 시리즈는 왜? 어떻게? 정말? 과 같은 의문을 거의 다 해소하고, 순환 논증을 없애는 것이 목적이기 때문에, 지금과 같이 어느 정도의 엄밀성은 추구할 것이다. 읽는 사람은 없지만ㅠ