미분방정식을 통한 포물선 운동의 증명

개요

공기저항이 없고, 지표면은 평평하며, 중력장은 모든 위치에서 항상 같은 값을 가진다고 하자. 이때, 어떤 물체 - 예컨데 투포환 - 을 던지면 손에서 놓은 그 순간부터의 물체의 궤적은 어떨까?

이 물체가 포물선을 그릴 것이라는 것은 대부분이 아는 사실이다. 물리 카테고리의 첫 포스트인 이번 포스트는, 왜 이러한 물체가 포물선 운동을 하는지 뉴턴의 운동법칙을 통해서 알아본다.

물체의 궤적



일단, 질량 $$$m$$$인 물체를 (그림과 같이) 원점에서 초속도 $$$v_0$$$와 상향 $$$\theta$$$의 각도로 $$$t = 0$$$에 던졌다고 하자. 그리고 시간 $$$t$$$에서 물체의 속도를 $$$\mathbf v = \left( v_x, v_y \right)$$$라고 하며, 이때 물체가 받는 힘을 $$$\mathbf F = \left( F_x, F_y \right)$$$라고 하자.

그렇다면, 뉴턴의 제2법칙을 통해

$$ \mathbf F = m \frac {\text d \mathbf v} {\text d t}$$

이 된다. 그렇다면, 이제 힘의 정확한 형태를 따져보자. 음… 뭐 따져볼 것도 없이 수평 방향의 성분은 $$$0$$$이고, 연직 방향 성분만 아랫쪽으로 중력가속도의 크기가 $$$g$$$일 때 그 크기는 $$$mg$$$가 될 것이다. 따라서 $$$\mathbf F = \left( 0, -mg \right)$$$이다.

이제 지금까지 얻은 식을 정리해보면,

$$ \begin{cases} F_x = 0 = m \frac {\text d v_x} {\text d t} \\ F_y = -mg = m \frac {\text d v_y} {\text d t} \end{cases}$$

이다.

$$$F_x$$$ 부분에서 미분하여 0이 된다는 것은 곧 그 값이 상수라는 것이므로,

$$v_x (t) = \text{const.}$$

이다. 더 나아가, $$$v_x (0) = v_0 \text {cos} \theta$$$이므로,

$$v_x (t) = v_0 \text {cos} \theta$$

이다. 사실 이는 뉴턴의 제1법칙인 관성의 법칙에 따른 결과이다. 수평방향으로의 외력이 없기에 속도도 바뀌지 않은 것이다.

다음으로 $$$F_y$$$ 성분을 살펴보자.

$$\frac {\text d v_y} {\text d t} = -g$$

이므로,

$$\text d v_y = -g \text d t$$

이다. 양변을 적분하면

$$\int \text d v_y = \int -g \text d t$$

이므로

$$v_y (t) = -gt + C$$

이다. 적분상수 $$$C$$$를 결정하기 위해서는 아까와 같이 초기속도와 발사각을 고려하면 된다. $$$v_y (0) = C = v_0 \text {sin} \theta$$$이다.

지금까지의 결과를 정리해보자.

$$ \begin{cases} v_x (t) = v_0 \text {cos} \theta \\ v_y (t) = -gt + v_0 \text {sin} \theta\end{cases}$$

그런데 속도는 위치를 미분한 것이므로, 아래와 같이 다시 쓸 수 있다.

$$ \begin{cases} \frac {\text d x} {\text d t} = v_0 \text {cos} \theta \\ \frac {\text d y} {\text d t} = -gt + v_0 \text {sin} \theta\end{cases}$$

우선 $$$x$$$ 성분부터 적분하자.

$$ \frac {\text d x} {\text d t} = v_0 \text {cos} \theta \\ \int \text d x = \int v_0 \text {cos} \theta \text d t \\ \therefore x(t) = v_0 t \text {cos} \theta + D$$

이 때, 적분상수 $$$D$$$$$$x(0) = 0$$$이었으므로 $$$0$$$이다.

마찬가지로 $$$y$$$ 성분도 적분해보자.

$$ \frac {\text d y} {\text d t} = -gt + v_0 \text {sin} \theta \\ \int \text d y = \int \left( -gt + v_0 \text {sin} \theta \right) \text d t \\ \therefore y(t) = - \frac 1 2 g t^2 + v_0 t \text {sin} \theta + E$$

그리고 같은 이유로 $$$E = 0$$$이다.

다시 써보면,

$$ \begin{cases} x(t) = v_0 t \text {cos} \theta \\ y(t) = - \frac 1 2 g t^2 + v_0 t \text {sin} \theta \end{cases}$$

$$$x$$$ 성분에서 $$t = \frac x {v_0 \text {cos} \theta}$$

이므로 $$$y$$$ 성분에 이를 대입하면 아래의 식이 나온다.

$$ y = - \frac 1 2 g \left( \frac x {v_0 \text {cos} \theta} \right)^2 + v_0 \left( \frac x {v_0 \text {cos} \theta} \right) \text {sin} \theta \\ = - \frac g {2 v_0^2 \text {cos}^2 \theta} x^2 + x \text {tan} \theta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

결국 식이 $$$x$$$에 관한 이차함수이므로 물체의 궤적이 포물선을 그림을 알 수 있다.

최고 도달점

방금 구한 식

$$ y = - \frac g {2 v_0^2 \text {cos}^2 \theta} x^2 + x \text {tan} \theta$$

$$$x$$$에 대해 미분하여 0이 나오는 값이 극값인데, 특히 이 경우는 최댓값이 나오므로, 최고 도달점의 좌표를 구할 수 있다.

$$ \frac {\text d y} {\text d x} = - \frac g {v_0^2 \text {cos}^2 \theta} x + \text {tan} \theta = 0 \\ \therefore x = \frac {v_0^2 \text {cos}^2 \theta} g \text {tan} \theta \\ \,\,\,\,\,\,\,\,= \frac {v_0^2 \text {cos}^2 \theta} g \frac {\text {sin} \theta} {\text {cos} \theta} \\ \,\,= \frac {v_0^2 \text {sin} \theta \text {cos} \theta} g \\ = \frac {v_0^2 \text {sin} 2\theta} {2g}\,\,\,\,$$

이렇게 구한 $$$x$$$의 값을 $$$y$$$에 대입하자.

$$ y = - \frac g {2 v_0^2 \text {cos}^2 \theta} {\left( \frac {v_0^2 \text {sin} 2\theta} {2g} \right)}^2 + \left( {\frac {v_0^2 \text {sin} 2\theta} {2g}} \right) \text {tan} \theta \\ = - \frac {v_0^2 \text{sin}^2 \theta} {2g} + \frac {v_0^2 \text{sin}^2 \theta} {g}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ = \frac {v_0^2 \text{sin}^2 \theta} {2g} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

결국 최고 도달점의 좌표는

$$ \left(\frac {v_0^2 \text {sin} 2\theta} {2g} , \frac {v_0^2 \text{sin}^2 \theta} {2g}\right)$$

이 된다.

최장 도달점

이번에는 $$$y = 0$$$이 되는 지점에서의 $$$x (\neq 0)$$$를 구하면 된다.

$$ y = - \frac g {2 v_0^2 \text {cos}^2 \theta} x^2 + x \text {tan} \theta = 0 \\ x \left( - \frac g {2 v_0^2 \text {cos}^2 \theta} x + \text {tan} \theta \right) = 0 \\ - \frac g {2 v_0^2 \text {cos}^2 \theta} x + \text {tan} \theta = 0 \\ \frac g {2 v_0^2 \text {cos}^2 \theta} x = \text {tan} \theta \\ x = \frac {2 v_0^2 \text{cos}^2 \theta} g \text {tan} \theta \\ \,\,\,\,= \frac {2 v_0^2 \text{cos}^2 \theta} g \frac {\text {sin} \theta} {\text {cos} \theta} \\ = \frac {2 v_0^2 \text {sin} \theta \text{cos} \theta} g\,\, \\ = \frac {v_0^2 \text {sin} 2\theta} g\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

따라서,

$$x = \frac {v_0^2 \text {sin} 2\theta} g$$

일 때가 최대이다. 그리고 이 상황에서 $$$x$$$를 최대로 만드는 $$$\theta$$$ 값은 $$$\frac \pi 4 = 45^\circ$$$임을 $$$\text {sin} 2 \theta$$$를 통해 쉽게 알 수 있다. ($$$\text {sin} 2 \theta$$$의 최대값은 1이며, 이 때의 $$$\theta$$$ 값은 $$$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$$$에서 $$$45^\circ$$$ 뿐이기 때문이다.)

이렇게 이번 포스트에서는 포물선 운동에 대해 알아보는 시간을 가졌다.

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