오일러-라그랑주 방정식과 변분법

오일러-라그랑주 방정식과 변분법

개요

어떤 새로운 개념을 배우고 나서는, 다른 종류의 대상에도 이런 개념 비슷한 것이 적용될 수 있을까하는 궁금증이 들기 마련이다. 이러한 자세는 곧 어떠한 개념의 일반화로 이어지며, 수학이나 과학에서 항상 볼 수 있는 현상이다. 지금 바로 생각나는 예로는 수체계의 확장이 있겠다.

어쨋든, 오늘은 정확히 말하자면 일반화는 아니지만, 미분법의 개념을 확장한 변분법calculus of variations이라는 것을 알아볼 것이다.

변분법은 바로 어떤 범함수functionals의 정류값stationary value을 구하는 과정을 말한다. 특히, 이러한 범함수는 부정적분의 형태를 가질 때가 많다. 이 포스트에서는 아래와 같은 범함수를 다룰 것이다. 이러한 형태가 오일러-라그랑주 방정식Euler-Lagrange equation에 관련이 있기 때문이다.

$$ \int_{x_1}^{x_2} f \left( x, \, y (x), \, y' (x) \right)$$

그리고 이러한 오일러-라그랑주 방정식을 통해 이러한 범함수의 정류값을 찾을 수 있다.

오일러-라그랑주 방정식의 유도

아래와 같은 범함수 $$$F$$$를 잡자.

$$ F \left( \tilde y \right) = \int_a^b f \left( x, \, \tilde y (x), \, \tilde y' (x) \right) \mathrm d x$$

이 때, $$$\tilde y (a) = y_a, \, \tilde y (b) = y_b$$$라고 하자. 또한, 이러한 함수들 $$$\tilde y$$$ 중,

$$ \tilde y (x) = y (x) + \varepsilon \eta (x) \mbox {, where } \eta \mbox { is an arbitrary function such that }\eta (a) = \eta (b) = 0$$

으로 $$$y$$$가 $$$F$$$를 최소화한다고 하자. 이렇게 $$$y$$$와 $$$\eta$$$가 정의되면 $$$F$$$는 $$$\varepsilon$$$의 함수가 된다.

$$ F (\varepsilon) = \int_a^b f \left( x, \, \tilde y, \, \tilde y' \right) \mathrm d x = \int_a^b f \left( x, \, y + \varepsilon \eta, \, y' + \varepsilon \eta ' \right) \mathrm d x$$

그리고, $$$\varepsilon = 0$$$일 때 정류값을 가지므로,

$$ \frac {\mathrm d F} {\mathrm d \varepsilon} \bigg | _{\varepsilon = 0} = 0$$

이 성립하게 된다. 이제 $$$\frac {\mathrm d F} {\mathrm d \varepsilon}$$$을 정리해보자. 참고로, 첫째 줄에서 둘째 줄로 넘어갈 때 다변수 함수의 연쇄 법칙chain rule, 혹은 전미분(완전미분)total derivative이 사용되었다.

$$ \frac {\mathrm d F} {\mathrm d \varepsilon} = \int_a^b \frac {\mathrm d} {\mathrm d \varepsilon} \left( f \left( x, \, y + \varepsilon \eta , \, y' + \varepsilon \eta' \right) \right) \mathrm d x \\ = \int_a^b \left( \frac {\partial f} {\partial \tilde y} \frac {\mathrm d \tilde y} {\mathrm d \varepsilon} + \frac {\partial f} {\partial \tilde y'} \frac {\mathrm d \tilde y'} {\mathrm d \varepsilon} \right) \mathrm d x \,\,\,\, \\ = \int_a^b \left( \frac {\partial f} {\partial \tilde y} \eta + \frac {\partial f} {\partial \tilde y'} \eta' \right) \mathrm d x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

하지만 아직은 무언가가 부족하다. 식에 $$$\eta'$$$ 항이 남아있는데, 이 항을 없애버리고 싶다. 이를 위해서 부분적분법을 사용한다.

$$ \int_a^b \left( \frac {\partial f} {\partial \tilde y} \eta + \frac {\partial f} {\partial \tilde y'} \eta' \right) \mathrm d x = \int_a^b \left( \frac {\partial f} {\partial \tilde y} - \frac {\mathrm d} {\mathrm d x} \left( \frac {\partial f} {\partial \tilde y'} \right) \right) \eta \mathrm d x + \frac {\partial f} {\partial \eta'} \eta \bigg| _a^b = 0$$

처음 정의에서 $$$\eta (a) = \eta (b) = 0$$$이었으므로 $$$\frac {\partial f} {\partial \eta'} \eta \big| _a^b = 0$$$이다.

따라서, 임의의 함수 $$$\eta$$$에 대해 아래의 식이 성립하므로,

$$ \int_a^b \left( \frac {\partial f} {\partial \tilde y} - \frac {\mathrm d} {\mathrm d x} \left( \frac {\partial f} {\partial \tilde y'} \right) \right) \eta \mathrm d x$$

에서

$$ \frac {\partial f} {\partial \tilde y} - \frac {\mathrm d} {\mathrm d x} \left( \frac {\partial f} {\partial \tilde y'} \right) = 0$$

을 만족한다.

이 식을 바로 오일러-라그랑주 방정식이라고 한다.