라그랑주 역학의 적용 및 단진자의 운동

개요

지난번 포스트 라그랑주의 운동방정식에서는 라그랑지안Lagrangian의 소개와 라그랑주 운동방정식에 대해서 알아보았다. 이번 시간에는 예고했듯이 단진자의 운동을 다룰 뿐만이 아니라, 미분방정식을 통한 포물선 운동의 증명미분방정식을 통한 케플러 제1,2 법칙의 증명에서 나온 미분방정식을 라그랑주 역학을 통해 비교적 손쉽게 얻어볼 것이다.

특히 케플러의 법칙, 즉 행성의 운동에 관해서는 방정식을 세우는 것이 상당히 까다로웠는데, 이번 시간에서는 신세계놀랄만큼이나 간단하게 미분방정식을 세울 수 있다. 이러한 이유로 단진자의 운동방정식을 세울 때에도 라그랑주 역학을 사용하도록 한다. 물론 미분방정식을 통한 케플러 제1,2 법칙의 증명과 비슷한 방법으로 방정식을 세울 수 있기는 하다.

여하튼, 포물선 운동으로 시작해보자. 아! 물론 라그랑주 역학에 대한 이해가 필요하므로, 처음 들어보는 독자들은 라그랑주의 운동방정식를 참고하도록 하자. 또한, 아래의 기호 및 상황 설정은 위에서 소개한 미분방정식을 통한 포물선 운동의 증명미분방정식을 통한 케플러 제1,2 법칙의 증명에서 자세히 설명되어 있으니 참고하자.

포물선 운동의 운동방정식 세우기

이 경우, 뉴턴 역학이 더 간단하지만, 소개 차원으로 식을 세워보자.

일단, $$$x$$$축과 $$$y$$$축을 잡아 직교좌표계를 만들자. 운동에너지 $$$T$$$와 위치에너지 $$$U$$$는 각각 다음과 같이 잡으면 될 것이다.

$$ \begin {cases} T = \frac 1 2 m \dot x^2 + \frac 1 2 m \dot y^2 \\ U = mgy \end {cases}$$

물론, 물체의 질량과 중력가속도는 $$$m$$$, $$$g$$$로 잡은 것이다.

따라서, 라그랑지안 $$$\mathcal L$$$은 아래와 같다.

$$ \mathcal L = \frac 1 2 m \dot x^2 + \frac 1 2 m \dot y^2 - mgy$$

라그랑주의 운동방정식을 좌표 $$$x$$$$$$y$$$에 대해서 각각 생각해보면 아래 두 식을 쉽게 얻을 수 있다.

$$ \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \frac {\partial \mathcal L} {\partial \dot x} \right) - \frac {\partial \mathcal L} {\partial x} = \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( m \dot x \right) - 0 = m \ddot x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \frac {\partial \mathcal L} {\partial \dot y} \right) - \frac {\partial \mathcal L} {\partial y} = \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( m \dot y \right) + m g = m \ddot y + mg = 0$$

정리하자면,

$$ \begin {cases} \ddot x = 0 \\ \ddot y = -g \end {cases}$$

으로 방정식을 세웠다. 자명한 결과지만, 이렇게 에너지 관점의 라그랑주 역학으로도 구할 수 있다는 것을 보여준 것이다

나머지 과정은 미분방정식을 통한 포물선 운동의 증명과 완전히 같다. 미분방정식을 푸는 것이니 말이다.

행성 운동의 운동방정식

운동에너지와 퍼텐셜에너지는 마찬가지로 $$$T$$$$$$U$$$로써 표기한다.

$$ \begin {cases} T = \frac 1 2 m \dot r^2 + \frac 1 2 m \left( r \dot \varphi \right)^2 \\ U = - \frac {GMm} r \end {cases}$$

따라서, 라그랑지안은

$$ \mathcal L = \frac 1 2 m \dot r^2 + \frac 1 2 m \left( r \dot \varphi \right)^2 + \frac {GMm} r$$

이다. $$$\varphi$$$$$$r$$$에 대해서 라그랑주 운동방정식을 쓰면,

$$ \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \frac {\partial \mathcal L} {\partial \dot \varphi} \right) - \frac {\partial \mathcal L} {\partial \varphi} = \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( m r^2 \dot \varphi \right) - 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\,\, = m \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( r^2 \dot \varphi \right) \\= 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \frac {\partial \mathcal L} {\partial \dot r} \right) - \frac {\partial \mathcal L} {\partial r} = \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( m \dot r \right) - \left( m r \dot \varphi^2 - \frac {GMm} {r^2} \right) \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = m \ddot r - m r \dot \varphi^2 + \frac {Gmm} {r^2} \\= 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

따라서 우리는 $$$r^2 \dot \varphi$$$가 시간에 무관한 상수임을 알게 되었다. 우선 $$$\mu = r^2 \dot \varphi$$$라고 하면 될 것이고, 두번째 식에서는 $$$\ddot r - r \dot \varphi^2 + \frac {GM} {r^2}$$$이 0이므로 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$ \begin {cases} r^2 \dot \varphi = \mu \\ \ddot r - r \dot \varphi^2 + \frac {GM} {r^2} = 0 \end {cases}$$

마찬가지로 뒷과정은 미분방정식을 통한 케플러 제1,2 법칙의 증명와 같다.

단진자의 운동방정식



우선은, 단진자의 운동방정식만을 구해보자. 그 후, 단진자의 운동방정식을 풀어보도록 한다.

운동에너지 $$$T$$$, 위치에너지 $$$U$$$를 잡고, 진자의 질량 $$$m$$$, 길이 $$$l$$$, 이동한 각도를 위와 같이 $$$\varphi$$$라고 하자.

$$ \begin {cases} T = \frac 1 2 m \left( l \dot \varphi \right)^2 \\ U = mgl \left( 1 - \cos \varphi \right) \end {cases}$$

따라서 라그랑지안을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \mathcal L = \frac 1 2 m l^2 \dot \varphi^2 - mgl \left( 1 - \cos \varphi \right)$$

물론 여기서 유일한 변수는 $$$\varphi$$$$$$\dot \varphi$$$이다. 참고로 $$$l$$$은 그냥 상수일 뿐이다.

이제 라그랑주 운동방정식을 세우면,

$$ \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \frac {\partial \mathcal L} {\partial \dot \varphi} \right) - \frac {\partial \mathcal L} {\partial \varphi}\,\,\,\,\,\,\\=\frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( m l^2 \dot \varphi \right) + mgl \sin \varphi\\=ml^2 \ddot\varphi + mgl \sin \varphi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ =0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

이 되어,

$$ \ddot \varphi = - \frac g l \sin \varphi$$

이 된다.

단진자의 운동방정식 풀기

$$ \ddot \varphi = - \frac g l \sin \varphi$$

테일러 전개에 의해 $$$\varphi$$$가 미소하면 $$$\sin \varphi = \varphi$$$이다.

$$ \ddot \varphi = - \frac g l \varphi$$

양변에 $$$\dot \varphi$$$를 곱하자. 이는 양변을 적분하기 위함이다. 잘 모르겠으면 계속 읽어보자.

$$ \dot \varphi \ddot \varphi = - \frac g l \dot \varphi \sin \varphi \\ \frac {\mathrm d \varphi} {\mathrm d t} \frac {\mathrm d^2 \varphi} {\mathrm d t^2} = - \frac g l \frac {\mathrm d \varphi} {\mathrm d t} \sin \varphi \\ \frac 1 2 \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \frac {\mathrm d \varphi} {\mathrm d t} \right)^2 = - \frac g {2l} \frac {\mathrm d \varphi^2} {\mathrm d t} \\ \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \frac {\mathrm d \varphi} {\mathrm d t} \right)^2 = - \frac g {l} \frac {\mathrm d \varphi^2} {\mathrm d t}$$

이제 양변을 그대로 적분할 수 있다.

$$ \left( \frac {\mathrm d \varphi} {\mathrm d t} \right)^2 = - \frac g {l} \varphi^2 + C \\ \frac {\mathrm d \varphi} {\mathrm d t} = \pm \sqrt { C - \frac g {l} \varphi^2 }$$

식을 정리하고 근호를 벗기기 위해서는 공식 $$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$$을 이용하면 될 것 같다. 따라서,

$$ \begin {cases} C = \frac g l A^2 \\ \varphi = A \sin \xi \end {cases}$$

라고 하자. 일단 $$$\mathrm d \varphi$$$$$$\xi$$$에 대해 나타내자.

$$ \mathrm d \varphi = A \cos \xi \mathrm d \xi$$

이다. 원래 식으로 돌아가서 $$$\mathrm d t$$$를 우변으로 보내면,

$$ \mathrm d \varphi = \pm \sqrt { C - \frac g {l} \varphi^2 } \mathrm d t$$

이 된다. 이제 치환한 값들을 넣어주면,

$$ \mathrm d \xi = \pm \sqrt { \frac g l } \mathrm d t$$

이 되어, 양변을 적분할 수 있다.

$$ \xi = \pm \sqrt {\frac g l} t + \phi$$

이제 $$$\varphi = A\sin\xi$$$를 대입하기 위해 양변에 $$$\sin$$$을 취하고 $$$A$$$를 곱하면,

$$ A \sin \xi = A \sin \left( \pm \sqrt {\frac g l} t + \phi \right)$$

이 되어,

$$ \varphi = A \sin \left( \pm \sqrt {\frac g l} t + \phi \right)$$

이다.

따라서 우리는 주기가 $$$2 \pi \sqrt {\frac l g}$$$임을 알 수 있고, 이는 진폭 $$$A$$$와는 무관하다.

우리는 진자의 등시성을 증명한 것이다. 하지만! 우리는 분명 $$$\varphi$$$를 미소하다고 하여 이의 사인값과 같다고 하였다. 이는 근사적으로 생각한다면 진자의 등시성이 성립한다는 것이다. 다시 말해, 진자의 등시성은 이 진폭이 미소하지 않다면 잘못된 것이다!

이에 관해서는 타원적분에 대해 알아야하는데, 이 주제에 관해서는 다음으로 미뤄두자.

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