[수 체계에 대한 공리적 접근] 0. 우주, 논리, 사고
제가 요즘 제목에 써있는 주제로 글을 쓰고 있습니다. 한 단원이 마무리될 때마다 글을 올리도록 하겠습니다~
이번 0단원은 수학에 대한 내용은 거의 없습니다.
제가 쓸 글에 대한 서론 정도? 로 그냥 제 생각을 담은 글이니 너무 심각하게 읽진 말아주세요 ㅎㅎㅎ
지적, 비판은 환영입니다.
0. 우주, 논리, 사고
그렇게 우주가 탄생한지 100억 년 정도 지나, 중간 크기의 평범한 항성이 생겨났고, 얼마 지나지 않아 이 항성 주변의 물질이 모여 나타난 다양한 크기의 천체들이 이 항성을 공전하기 시작했다. 이 천체들은 충돌에 충돌을 거듭하여 몇 개의 큰 구형의 덩어리를 형성하게 되었고, 최종적으로 8개의 행성이 만들어졌다. 이 항성에서 세 번째로 멀리 떨어져 있는 행성 또한 다른 행성들과 마찬가지로 작열 상태에 있었다. 그런데 10억 년 정도 흐르자, 이 행성은 다른 행성들과는 다른 길을 걷게 된다. 이 행성에는 다량의 물이 존재하고, 이런 물이 액체 상태로 존재하기 위한 온도를 맞춰줄 수 있는 항성과의 거리 및 적절한 두께의 대기를 가지고 있었던 것이다. 이런 조건을 지닌 이 행성에서는 놀라운 일이 발생한다. 우연한 화학적 합성에 의해 유기물이 생기자, 이런 유기물이 모여 자체적으로 태양에너지를 사용해 물과 이산화탄소를 산소로 바꾸며 에너지를 만들어내는 존재가 탄생한 것이다. 이런 존재는 번식을 하여 엄청난 양으로 불어나고, 이 존재의 영향은 지구에 지대한 영향을 끼쳤는데, 심지어 이 행성의 대기, 바다의 조성까지 바꿔놓게 된다. 그러자 이런 존재들은 서로 합체를 하기 시작하며, 더 우월한 존재로 발달하게 된다. 그렇게 생명이라는 것이 생겨났고, 이런 생명체가 진화를 거듭해 인간이 탄생해서 이 행성의 이름을 지구라 명명하고, 지구가 공전하는 항성을 태양이라고 부르게 된다.
인간도 초기에는 다른 동물들과 다를 것이 없었다. 그러나 인간이 직립 보행을 시작하고 두 손이 자유로워지자, 도구를 사용하여 사냥을 더 효율적으로 할 수 있게 된다. 그리고 불의 발견으로 고기를 익혀 먹어, 고기에 있는 영양소를 더 빠르게 흡수하고 식사 시간 및 소화 시간을 단축하게 된다. 이 과정을 통해 인간에게는 더 많은 자유 시간이 주어지고, 뇌가 발달할 수 있었다. 이렇게 발달된 뇌와 여유로워진 생활로 인해 인간의 진화는 더욱 가속되고, 약간의 논리적 사고가 가능케되어 의사소통을 위해 언어를 구사하게 된다. 그리고 인간의 성대 구조 또한 다른 동물과 다르게 언어를 쉽고 정확하게 구사할 수 있는 구조로 진화하게 된다. 그리고 약 15000년 전, 인간 최초의 문명이 탄생하게 된 것이다.
인간의 문명 탄생 이전과 그 이후에는 극명한 차이점이 있다. 인간의 문명이 탄생할 무렵, 인간은 자연에 대한 두려움과 호기심이 이전과는 다르게 극대화되었다. 이에 따라 인간은 현재 우리가 비과학적이라고 부르는 초자연적인 존재나, 초자연적인 힘을 상상하여 여러 자연 현상을 설명하게 된다. 자연을 나름대로 설명하고자 하는 지적 욕구와 끊임없는 자연의 위협, 지적인 능력을 갖추게 되어 발생하게 된 내면의 갈등에 따라 의지할 대상이 필요했던 인간의 심리가 탄생시킨 것이 바로 신앙이라는 것이다. 그러나 이들의 일부는 좀 더 깊이 알고자하였고, 이들은 세상을 관찰하고 고뇌하기 시작한다. 그리고 사람들은 납득할 수 있고 이해할 수 있는 설명을 만들어내며, 이를 논리라고 부르게 된다.
분명 인간의 사고와 논리는 별개의 개념이다. 그러나 논리는 사고를 필요로 하며, 사고는 결국 논리를 이끌어내게 된다. 인간은 이런 논리를 가지고 우주를 설명하고자 한다. 일부는 실패하고, 일부는 성공하였지만, 근본적인 문제가 있었다. 이들은 관찰 능력이 부족하였다. 현재 우리가 부르는 과학은 관찰과 실험이 필수적이지만, 초기 철학은 우리가 아는 과학과는 조금 달랐다. 이들은 논리 체계의 아름다움과 조화를 추구하였기 때문이다.
그런데 여기서 주목할만한 사실이 하나 있다. 이들이 주의깊은 관찰을 하지 않았음에도 불구하고, 지금까지 변하지 않고 전해져 내려오는 산물이 하나 있다. 바로 수학이다. 이런 관점에서 보면 수학은 우주와는 독립적인 것일수도 있다. 이들이 순수 논리로 만들어낸 수학은 그들이 만들어낸 과학 가설, 예컨데 4원소설처럼 완전히 잘못된 것일 수도 있었다. 하지만 그렇지 않다는 것이 놀라운 일인 것이다. 인간의 사고로 만들어낸 논리, 그리고 순수 논리만으로 만들어낸 수학체계는 우리가 현재 알고 있는 과학에 그대로 적용시킬 수 있다. 예를 들자면, 이들이 만들어낸 유클리드 기하와 단순한 논리로 이를 변형시킨 비유클리드 기하는 우리 우주의 형태를 거의 완벽하게 표현할 수 있다. 몇개의 논리로 만들어진 수체계도 자연에 완벽히 적용될 수 있다. 수라는 개념이 우리 우주에 고스란이 담겨져 있는 것이다.
왜 우리 우주는 논리적으로 작용하는 것이며, 인간의 뇌는 어떻게 이런 논리를 만들 수 있는지는 여기서 다루고자하는 문제는 아니지만, 흥미로운 문제임이 분명하다.
이 글에서 다루고자 하는 내용은 이런 내용의 가장 기초가 되는 수체계에 관한 것이다. 이 글에서는 인간의 직관적인 사고로 자명히 인정할 수 있는 몇몇의 사실에서 출발해, 수체계의 논리를 쌓아 올리고자 한다.