구심 가속도와 접선 가속도 및 좌표변환
구심 가속도와 접선 가속도 및 좌표변환
개요
제목에서부터 알 수 있듯이, 오늘은 데카르트 좌표계(직교좌표계)에서 표현한 가속도를 극좌표계, 즉 구심 가속도와 접선 가속도로 변환하는 과정을 알아보도록 한다.
내용 자체가 심오하고 그런 내용은 아니니, 바로 본론으로 들어가도록 한다. 물론, 극좌표계와 가속도, 미적분에 대한 간단한 지식은 필요하다.
유도과정
좌표계에서의 표현
일단, 위의 그림을 보자. 그림에서, $$$x \hat x = \vec x$$$, $$$y \hat y = \vec y$$$, $$$r \hat r = \vec r$$$, $$$\theta \hat \theta = \vec \theta$$$라고 하자.
이제, $$$x$$$와 $$$y$$$는 $$$r$$$과 $$$\theta$$$로 아래와 같이 쉽게 표현할 수 있다.
$$ \begin {cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end {cases}$$
이제, 아래에서 쓸 일이 있으니 미리 $$$\hat r$$$과 $$$\hat \theta$$$를 $$$\hat x$$$와 $$$\hat y$$$, 그리고 $$$\theta$$$를 통해 나타내어보자.
$$ \begin {cases} \hat r = \cos \theta \ \hat x + \sin \theta \ \hat y \\ \hat \theta = -\sin \theta \ \hat x + \cos \theta \ \hat y \end {cases}$$
속도 구하기
가속도를 구하기 앞서 속도 $$$\vec v$$$를 구하자.
$$ \vec v = \frac {\rm d} {\rm d t} \vec r = \frac {\rm d r} {\rm d t} \hat r + r \frac {\rm d \hat r} {\rm d t}$$
위에서 등장한 $$$\frac {\rm d \hat r} {\rm d t}$$$를 $$$\hat x$$$와 $$$\hat y$$$로 표현하자.
$$ \frac {\rm d} {\rm d t} \hat r = \frac {\rm d} {\rm d t} \left( \cos \theta \hat x + \sin \theta \hat y \right) \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( -\sin \theta \hat x + \cos \theta \hat y \right) \frac {\rm d \theta} {\rm d t} \\=\omega \hat \theta\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$
이다. 물론, $$$\omega = \frac {\rm d \theta} {\rm d t}$$$이다.
지금까지의 결과를 합치면,
$$ \vec v = \frac {\rm d r} {\rm d t} \hat r + r \omega \hat \theta$$
가 된다.
가속도 구하기
이제 속도 $$$\vec v$$$를 시간에 대해 한 번 더 미분하여 가속도 $$$\vec a$$$를 구하도록 하자.
$$ \vec a = \frac {\rm d \vec v}{\rm d t}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac {\rm d^2 r}{\rm d t^2} \hat r + \frac {\rm d r}{\rm d t} \frac {\rm d \hat r}{\rm d t} + \frac {\rm d}{\rm d t} \left(r \omega \right) \hat \theta + \left(r \omega \right) \frac {\rm d \hat \theta}{\rm d t} \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac {\rm d^2 r}{\rm d t^2} \hat r + \frac {\rm d r}{\rm d t} \omega \hat \theta + \left( \frac {\rm d r}{\rm d t} \omega + r \frac {\rm d \omega}{\rm d t} \right) \hat \theta + r \omega \left(-\omega \hat r \right) \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left(\frac {\rm d^2 r}{\rm d t^2} - r \omega^2 \right) \hat r + \left( 2 \frac{\rm d r}{\rm d t} \omega + r \frac {\rm d \omega}{\rm d t} \right) \hat \theta$$
드디어 가속도를 극좌표 형태로 표현했다. 위의 식에서 $$$\hat r$$$ 부분과 $$$\hat \theta$$$ 부분이 각각 구심 가속도와 접선 가속도인 것이다.
이렇게 포스트를 마친다.