Zeta's Math & Physics

[인형 만들기 봉사] 에코인형 눈사람 만들기 후기

Zeta611 — Tue, 28 Feb 2023 01:36:40 +0900

[아시안허브 인형만들기 봉사활동]

직접 바느질을 하고 솜을 넣어서 인형을 만들어보는 것은 아마 초등학교 때인가, 중학교 때인가 수행평가를 위해 만들었던 것이 마지막이었던 것 같은데요, 소소하지만 이런 기회로 인형을 만들게 되어 뿌듯하기도 하고 즐겁기도 하였습니다. 내가 만든 인형이 다른 아이들에게 즐거움을 주면 좋겠다는 생각에, 부족한 손재주이지만 최선을 다해 귀엽게 만들어보았습니다. 간단해 보였는데 막상 만들어보니 바느질하는 것이 여간 까다로운 일이 아니었네요. 최대한 모양을 잡으면서 진행하다 보니 시간가는 줄 모르고 작업하였습니다. 완성된 결과물을 보니 귀엽기도 하고요. 처음에 받은 준비물이 솜에 양말 뿐이어서 이걸로 눈사람이 어떻게 만들어지나 의문이 들었는데요, 이렇게 간단한 재료로도 이쁜 인형이 만들어진다는 점에 놀랐습니다. 집에서 짝이 안 맞는 양말이 있으면 만들 수도 있겠구나 싶었습니다. 기회가 된다면 다음에는 다른 인형이나 필통을 만들어보고 싶습니다. 아무쪼록 제가 만든 인형이 다른 아이에게 잘 전달되어서 기쁨을 안겨주면 좋을 것 같네요.

블로그 이전 (zetablog.ml)

Zeta611 — Fri, 24 Aug 2018 11:25:39 +0900

블로그 이전 중입니다. http://zetablog.ml에서 뵙겠습니다.

i의 i승? 복소수에 대해 알아보자!

Zeta611 — Mon, 1 Aug 2016 03:58:03 +0900

본 글은 http://zetablog.ml/posts/i-power-i에서 업데이트된 내용으로 보실 수 있습니다.

i의 i승? 복소수에 대해 알아보자!

‘$$$i$$$의 제곱은 -1이고, -1의 제곱은 1이지… 흠… 근데 $$$i$$$의 $$$i$$$승은 뭐지???’

조금만 생각해보면 가질 수 있는 궁금증이다. 이에 대한 답변을 알기 위해서는 굉장히 많은 개념을 알아야한다. 복소수의 개념에서부터 오일러 방정식까지, 누구나 이해할 수 있도록 최대한 차근차근 알아보도록 하자. (거듭제곱, 방정식 등의 간단한 개념은 알고 있다고 가정한다.)

복소수? 그게 뭔데?

사람들은 항상 필요에 따라 수를 만들어왔다. 그게 현실적으로 어떤 의미를 가지는지, 자연에서 이에 대응되는 개념이 있는지를 찾는 것도 중요하지만, 역사적으로는 필요에 수 체계를 확장했다고 보아도 된다.

자, 다음의 방정식을 보자.

$$ x^2=-1$$

이 방정식의 해는 (복소수라는 개념을 도입하기 전까지는) 존재하지 않는다. 정확하게 말하자면 실수 안에서 이 방정식의 해가 존재하지 않는 것이다. 하지만 이 방정식의 해를 만족시키는 수를 만들지 않으면 기술적으로 많은 제약이 따랐고, 수학자들은 필요에 따라 이 방정식의 해를 $$$\pm i$$$라고 정하게 된다.

어색할 수도 있고, 인정하기 싫을 수도 있지만 수는 항상 이런 식으로 고안되어 왔다. 간단하게는 양수라는 개념만이 있을 때 $$$x+1=0$$$이라는 형태의 방정식의 해는 없다고 생각되었다. (물론 양자역학이 개척되고 난 후에는 자연에서도 근본적으로 복소수의 개념이 존재한다고 해석할 수 있으며, 전자기학에서도 기술적으로 복소수를 도입하면 굉장히 계산이 깔끔해진다.)

어쨌든 이런 식으로 허수인 $$$i$$$를 정의하고 나면, 원래 알고 있는 체계인 실수와 결합하여 복소수를 생각할 수 있다. 즉, $$$ 1+i$$$와 같은 수를 생각할 수 있는 것이다.

정리하자면, 복소수는 $$$x^2=-1$$$을 만족시키는 수인 $$$i$$$와 실수의 합으로 나타내어지는 수이다. 그리고 $$$i$$$의 실수배로 표현되는 복소수를 허수라고 한다.

(보다 엄밀한 정의는 복소해석학 시리즈를 참고하기 바란다. ~~이 시리즈를 완결시킬지는 모르겠다.~~)

이차방정식을 풀자!

위에서 간단히 언급하였지만, $$$x^2=-1$$$을 만족시키는 수인 $$$i$$$를 도입하면 모든 이차방정식을 풀 수 있게 된다. 정확히 말하자면, 모든 복소계수 이차방정식의 해는 복소수로 표현할 수 있다.

계속 진행하기에 앞서서, 이차방정식의 근의 공식을 상기시켜보자.

$$ ax^2+bx+c=0$$

의 해 $$$x$$$는

$$ \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

이다. (혹시 이차방정식의 근의 공식을 모른거나 그 유도를 알고 싶다면 방정식과 이차방정식의 근의 공식 포스트를 읽어보자.)

근의 공식에 제곱근이 들어간다는 사실만으로도 의미심장하다! 위에서 말하지 않았지만, 사실 $$$x^2=-1$$$이라는 식은 $$$x=\pm \sqrt{-1}$$$로 변형시킬 수 있다. 결국 $$$i=\sqrt{-1}$$$인 것이다. (물론 $$$i=-\sqrt{-1}$$$로 정의해도 완전히 동일하다.)

이 사실을 깨닫고 나면 ‘$$$b^2-4ac$$$가 음수가 되면…?! $$$\sqrt{b^2-4ac}$$$가 허수가 되어서 이차방정식의 해가 복소수가 되겠네!’라는 생각을 할 수 있을 것이다. 그렇다. 일반적으로 실계수 이차방정식($$$a, b, c$$$가 모두 실수인 방정식)의 해는 근호 안의 부분이 양수이나 음수이냐에 따라 실수가 될 수도, 복소수가 될 수도 있다. 그래서 이 부분은 해의 형태를 판별하는데에 있어서 중요한 의미를 가지며 이를 판별식이라고 한다. 보통 $$$D$$$라는 기호로 나타낸다.

$$ D=b^2-4ac$$

예를 들어보자. 방정식 $$$x^2+3x+3=0$$$의 해는,

$$ x=\frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4\cdot 1 \cdot 3}}{2\cdot 1} \\=\frac{-3\pm \sqrt{-3}}{2}\qquad\quad \\=\frac{-3\pm \sqrt{-1}\sqrt{3}}{2}\qquad \\=\frac{-3\pm \sqrt{3}i}{2}\qquad\quad\,\,\,$$

으로 방정식에 들어간 모든 계수가 실수임에도 불구하고 그 해는 복소수라는 것을 알 수 있다. 이차방정식에 대한 이야기는 여기까지 마치고, 이제 복소평면과 더불어서 복소수의 연산과 그 기하적인 해석에 대해 알아보자. (좀 비약이 있는 것 같지만 최대한 자세히 설명하도록 한다. 궁금한 점이 있으면 댓글에 달아주세요.)

복소평면이란?

[CC-BY-SA-3.0], via Wikimedia Commons

엄밀하게 정의하려면… [복소해석학] 5. 복소평면처럼 해야하지만, 이 포스트의 목적에 맞게 설명한다.

위 그림에서 보듯이 2차원 평면에 가로축은 실수($$$Re$$$, Real의 앞 두 글자를 딴 것), 세로축은 허수($$$Im$$$, 마찬가지로 Imaginary의 앞 글자를 딴 것)에 대응시켜서 수를 나타낸다. 이렇게 만든 평면을 복소평면이라고 하고, 여기에 모든 복소수를 대응시킬 수 있다.

왜 이런 복소평면을 소개했을까? 바로 복소수의 절댓값 absolute value과 편각 argument을 소개하기 위함이다. 각각 그림에서 $$$r$$$과 $$$\varphi$$$에 해당한다. 이렇게 절댓값과 편각의 개념을 알게 되면 오일러 방정식을 소개할 수 있는 길이 열린다.

지금까지는 어떤 임의의 복소수를 $$$a, b\in \mathbb{R}$$$일 때 $$$a+bi$$$로 표기할 수 있었는데, $$$r$$$과 $$$\varphi$$$로 표현할 수 있는 법은 없는 걸까?

직교좌표계? 극좌표계!

어떤 공간에서—그 공간이 2차원이든, 3차원이든, 혹은 그 이상이든지간에—나타내는데에 방법이 한 가지가 아니라는 것을 깨닫고 나면 새로운 좌표계에 대해서 이해할 수 있을 것이다. 예컨데, 어떤 데카르트 좌표계(다른 말로는 직교좌표계)에서 (1, 3) 위치의 지점을 나타내는 점을 찍었다고 하자. 2차원이기에 위치를 특정하기 위해서는 두 개의 정보가 필요하다. 그리고 이 둘은 독립적이어야한다. 하지만 이뿐이다! 그 누구도 $$$x$$$좌표의 값과 $$$y$$$좌표의 값을 요구하는 데카르트 좌표계를 강요하지 않는다.

원점에서부터의 거리와 가로축으로부터의 각도, 그 두 가지의 정보가 주어저도 동일한 점(데카르트 좌표계에서 (1, 3)에 해당했던 지점)을 찍을 수 있을 것이다. 엄밀하게는 좀 더 많은 조건을 확인해보아야겠지만, 우리는 충분히 이 두 정보를 통해 좌표계를 구성할 수 있을 것이라고 짐작할 수 있다. 이것이 바로 극좌표계이다.

어떤 점이 데카르트 좌표계에서 (1, 3)에 해당했다고 하자. 그렇다면 원점 (0, 0)애서부터의 거리는 피타고라스의 정리에 의해 $$$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$$$이라는 것을 알 수 있을 것이다. 또한 가로축과 그 점—정확히는 원점과 그 점을 잇는 선분—이 이루는 각도는 $$$\tan^{-1}{\frac{3}{1}}=\tan{3}$$$일 것이다. 정리하자면, 데카르트 좌표계에서 (1, 3)에 해당했던 지점은 극좌표계에서는 $$$\left(\sqrt{10},\ \tan{3}\right)$$$으로 나타내어진다.

일반적으로, 어떤 점이 데카르트 좌표계에서는 $$$ (x, y)$$$로, 극좌표계에서는 $$$ \left(r, \theta \right)$$$으로 나타내어질 때, 이 둘 사이의 변환식은 다음과 같다.

$$ r = \sqrt{x^2 + y^2}\\ \theta = \tan^{-1}{\frac{y}{x}} \quad\ \ \ \,\\ x = r \cos \theta \quad\ \ \\ y = r \sin \theta\quad \ \,\,$$

오일러 공식

그렇다면 이 극좌표랑 복소수랑 무슨 관련이 있을까? 복소평면이란? 마지막 부분에서 복소수를 절댓값과 편각으로 나타낼 수 있을지에 대한 질문을 했는데, 오일러 공식이 바로 그 돌파구이다.

일단 위에서 언급한 데카르트 좌표계와 극좌표계 간의 변환식에 의해, 어떤 복소수 $$$ z = x + yi$$$는 $$$ r\left( \cos \theta + i \sin \theta\right)$$$로 표현될 수 있다. 그런데 우리는 테일러 공식을 통해 $$$\exp$$$ 함수, $$$\sin$$$ 함수, $$$\cos$$$ 함수를 나타낼 수 있다.

$$ \exp x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$

무언가 감이 오지 않는가? $$$\exp$$$ 함수에 $$$x$$$ 대신 $$$ix$$$를 대입하고 $$$\cos x$$$와 $$$i\sin x$$$의 합을 비교해보자. 정확히 일치한다! 그 의미는 곧… 아래와 같은 공식이 성립한다는 것이다.

$$ \exp (ix) = e^{ix} = \cos x + i \sin x$$

이 공식이 바로 오일러의 공식, Euler’s formula이다. 여기에 $$$x$$$ 대신 $$$\pi$$$를 넣으면 세상에서 가장 아름다운 공식이라고도 불리우는 오일러의 등식 $$$e^{i\pi} = -1$$$이 되는 것이다. (오일러의 공식을 증명하는 세 가지 다른 독특한 방법에도 관심이 있으면 이를 다룬 포스트 Euler (오일러) 공식의 세 가지 느슨한 증명도 참고해보자.)

i의 i승

이제까지의 내용을 모두 이해했다면 아래의 등식을 바로 이해할 수 있을 것이다.

$$ x + iy = re^{i\theta},\\\mathrm{where}\ r = \sqrt{x^2+y^2}\ \mathrm{and}\ \tan\theta = \frac{y}{x}$$

이제 우리는 어떤 복소수이든 $$$re^{i\theta}$$$의 꼴로 나타낼 수 있게 되었다. 이것이 바로 복소수의 극형식이다. 그렇다면, 가장 단순한 허수인 $$$i$$$는 극형식으로 나타내면 어떠할까? 일단 $$$i$$$는 실수부는 0, 허수부는 $$$i$$$이기에 변환식에 넣으면 $$$1e^{i\cdot \frac{\pi}{2}}$$$라는 것을 알 수 있다. 물론, 기하학적으로 보자면—본질적으로 동일하지만—원점으로부터의 거리가 1, 가로축과 이루는 각이 90도, 즉 라디안으로 $$$\frac{\pi}{2}$$$이기에 그러한 것이다.

드디어 끝났다! 이미 느낌이 온 사람도 있을 것이다. 아래의 계산 과정을 보자.

$$ i^i = \left( e^{\frac{i\pi}{2}} \right)^i\\ =e^{\frac{i^2 \pi}{2}}\\ =e^{-\frac{\pi}{2}}\\ =0.2078\cdots$$

끝! …이라고 하기에는 뭔가가 부족하다. 사실 복소 지수에는 굉장한 성질이 있다. 포스트 내용이 상당 부분 복소 로그 함수와 복소 지수, 그리고 다가성 (multivaluedness)와 수렴하고 있는 것 같지만, 복소 지수 함수에는 여러 값을 배정할 수 있다. 이게 무슨 말이냐고?

i의 i승의 또 다른 값

위의 내용에서 i의 편각에 $$$\frac{\pi}{2}$$$를 배정한 것에 의구심을 가졌다면 당신은 훌륭한 수학적인 감각을 가지고 있는 것이다. 왜 $$$\frac{5\pi}{2}$$$도 $$$\frac{-3\pi}{2}$$$도 아닌 그냥 $$$\frac{\pi}{2}$$$인가? 사실 그 어느 값을 넣어도 된다. 왜냐하면 정수 $$$n$$$에 대해서 $$$\frac{(4n+1)\pi}{2}$$$의 꼴이라면 항상 $$$\frac{\pi}{2}$$$과 같은 방향을 가리키고 있기 때문이다. 그렇다. 일반적으로라면 아래와 같이 계산해야한다.

$$ i^i = \left( e^{\frac{i(4n+1)\pi}{2}} \right)^i\\ =e^{\frac{i^2 (4n+1)\pi}{2}}\\ =e^{-\frac{(4n+1)\pi}{2}}\\ =\frac{0.2078\cdots}{535.49\cdots}$$

이렇게 신비하고도 흥미로운 복소수, 특히 $$$i$$$의 $$$i$$$승에 대한 해답을 찾는 것에 포커스를 맞추어보았다. 여전히 이해가 되지 않는 부분이나 명료하지 않은 부분이 있다면 댓글에 질문을 달아주기 바랍니다.

[복소해석학] 5. 복소평면

Zeta611 — Wed, 8 Jul 2015 02:32:15 +0900

복소해석학

5. 복소평면

개요: 이번 포스트에서는 복소평면complex plane을 정의한다. 아래에서 보면 알 수 있겠지만, 증명을 계속 넘기는 이유는 너무 자명할 뿐만이 아니라, 이 시리즈의 주제는 바로 복소해석학이기 때문이다. 그러므로, 이러한 맥락으로 그 토대를 구축해나가면 된다는 것을 보여주는 것을 목적으로 한다.

1. 복소평면

일단 실수 평면을 정의한다.

정리 5.1

$$$\left(R, +_R, \times_R\right)$$$을 환, $$$n\in\mathbb{N}_{>0}$$$이라고 한다. 다음과 같이 $$$+$$$와 $$$\times$$$를 정의하자.
$$$+: R^n \times R^n \rightarrow R^n$$$ 은 $$$\left(\alpha_1,...,\alpha_n\right)+ \left(\beta_1,...,\beta_n\right)=\left(\alpha_1+_R\beta_1,...,\alpha_n+_R\beta_n\right)$$$

$$$\times: R \times R^n \rightarrow R^n$$$ 은 $$$\lambda\times\left(\alpha_1,...,\alpha_n\right)=\left(\lambda\times_R\alpha_1,...,\lambda\times_R\alpha_n\right)$$$

으로 정의하자. 그렇다면, $$$\left(R^n,+,\times\right)_R$$$은 $$$R$$$-가군 $$$R^n$$$이다.

증명

$$$\left(R^n,+,\times\right)_R$$$이 $$$R$$$-가군이기 위해서는 아래의 세 조건을 만족함을 보이면 된다. (정의 4.1)
$$$\forall a,b \in R^n, \forall \lambda,\mu \in R$$$

$$$(1): \lambda\times\left(a+b\right)=\left(\lambda\times a\right)+\left(\lambda\times b\right )$$$

$$$(2):\left(\lambda+_R\mu\right)\times a=\left(\lambda\times a\right)+ \left(\mu \times b\right)$$$

$$$(3): \left(\lambda \times_R \mu\right)\times a = \lambda \times \left(\mu \times b\right)$$$

뭐, 모두 자명하게 성립하므로 넘어간다.

정의 5.1, 정리 5.2 실벡터 공간

$$$\mathbb R$$$를 실수 집합이라고 하자. 그러면, $$$\mathbb R$$$-가군 $$$\mathbb R^n$$$은 실벡터 공간이라고 정의하며, 이 공간이 벡터 공간임을 증명하는 것은 정의 4.6을 참고하여 3번째 포스트에 나온 정의들을 보고 간단히 확인해보면 될 것이다.

정리 5.3 좌표 평면의 순서 기저

$$$a_1, a_2 \in \mathbb R^2$$$일 때, $$$\left\{a_1,a_2\right\}$$$가 선형 독립 집합을 이룬다고 하자.(정의 4.12) 그러면, $$$\left(a_1, a_2\right)$$$는 $$$\mathbb R$$$-벡터 공간 $$$\mathbb R^2$$$의 순서 기저이다. (정의 4.16)

증명

평면 상에 직선 $$$L_1$$$과 $$$L_2$$$가 서로 만나서 이루는 점을 원점 $$$O$$$로 하자. 또한, 우리가 $$$a_1$$$과 $$$a_2$$$의 선형 결합(정의 4.10)으로 나타내고 싶은 점을 $$$P$$$라고 하자. 원점에서 $$$L_1$$$을 따라 $$$a_1$$$만큼 간 길이를 $$$L_1$$$에서의 단위 길이 1이라고 하고, $$$L_2$$$를 따라 $$$a_2$$$만큼 간 길이를 $$$L_2$$$에서의 단위 길이 1이라고 하자.

점 $$$P$$$를 지나고 $$$L_1$$$과 평행한 직선과 $$$L_2$$$와 평행한 직선을 그리자. 새로 그린 두 직선이 $$$L_1$$$과 만나는 교점의 좌표를 $$$\lambda_1$$$, $$$L_2$$$와 만나는 좌표를 $$$\lambda_2$$$라고 하면, 평행사변형 법칙에 의해 $$$P=\lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2$$$가 된다.

정의 5.2 실수 평면

평면에서의 점들은 $$$\mathbb R$$$-벡터 공간 $$$\mathbb R^2$$$과 일대일 대응이므로 $$$\mathbb R^2$$$을 실수 평면이라고 하자. 순서기저의 정의, 즉 정의 4.16에서부터 $$$\mathbb R^2$$$의 일반적인 원소는 순서쌍 $$$\left(x_1,x_2\right)$$$으로 표현될 수 있으므로, $$$\mathbb R^2$$$의 원소를 평면의 점으로 구분할 수 있고, 이 점을 그 좌표라고 할 수 있다.

정의 5.3 데카르트 좌표계

두 수직인 직선을 잡아서 이 둘을 축이라고 하자. 두 직선의 방향은 하나는 가로로, 하나는 세로로 잡는다. 이 두 축을 각각 $$$x$$$축, $$$y$$$축이라고 한다. 두 축의 교점을 원점 $$$O$$$라고 하자. 각 축은 실수 집합에 대응되며, 원점은 0에 해당한다. 실수는 $$$x$$$축에서는 좌에서 우로, $$$y$$$축에서는 하에서 상으로 증가한다.

모든 점은 다음과 같은 방식으로 $$$(x,y)$$$로 나타내어진다. 한 점을 잡고 이를 원점 $$$O$$$이라고 한다. $$$O$$$가 아닌 다른 점 $$$P$$$를 잡고, $$$O$$$와의 거리를 1로 정한다. $$$O$$$에서 $$$P$$$를 향하여 무한히 긴 직선을 그린다. 이를 $$$x$$$축이라고 하고, $$$O$$$를 지나고 $$$x$$$축과 수직하게 무한히 긴 직선을 그리고 이를 $$$y$$$축이라 하자. 그러면 $$$Q$$$를 평면 위의 임의의 점이라고 하자. $$$Q$$$를 지나며, $$$x$$$축과 $$$y$$$축에 수직한 두 직선을 그린다. $$$Q$$$에서 $$$y$$$축까지의 거리를 $$$x$$$좌표, $$$x$$$축까지의 거리를 $$$y$$$좌표라고 한다.

정의 5.3 복소평면

복소수는 순서쌍으로 나타낼 수 있으므로, $$$x+iy$$$를 실수 평면 $$$\mathbb R^2$$$에 나타낼 수 있다. $$$x$$$축은 실수축, $$$y$$$축은 허수축으로 하며, 각 축은 실수와 순허수와 대응된다. 또한, 그 좌표는 $$$(x,y)$$$이다.

구심 가속도와 접선 가속도 및 좌표변환

Zeta611 — Mon, 12 Jan 2015 00:00:46 +0900

구심 가속도와 접선 가속도 및 좌표변환

개요

제목에서부터 알 수 있듯이, 오늘은 데카르트 좌표계(직교좌표계)에서 표현한 가속도를 극좌표계, 즉 구심 가속도와 접선 가속도로 변환하는 과정을 알아보도록 한다.

내용 자체가 심오하고 그런 내용은 아니니, 바로 본론으로 들어가도록 한다. 물론, 극좌표계와 가속도, 미적분에 대한 간단한 지식은 필요하다.

유도과정

좌표계에서의 표현

일단, 위의 그림을 보자. 그림에서, $$$x \hat x = \vec x$$$, $$$y \hat y = \vec y$$$, $$$r \hat r = \vec r$$$, $$$\theta \hat \theta = \vec \theta$$$라고 하자.

이제, $$$x$$$와 $$$y$$$는 $$$r$$$과 $$$\theta$$$로 아래와 같이 쉽게 표현할 수 있다.

$$ \begin {cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end {cases}$$

이제, 아래에서 쓸 일이 있으니 미리 $$$\hat r$$$과 $$$\hat \theta$$$를 $$$\hat x$$$와 $$$\hat y$$$, 그리고 $$$\theta$$$를 통해 나타내어보자.

$$ \begin {cases} \hat r = \cos \theta \ \hat x + \sin \theta \ \hat y \\ \hat \theta = -\sin \theta \ \hat x + \cos \theta \ \hat y \end {cases}$$

속도 구하기

가속도를 구하기 앞서 속도 $$$\vec v$$$를 구하자.

$$ \vec v = \frac {\rm d} {\rm d t} \vec r = \frac {\rm d r} {\rm d t} \hat r + r \frac {\rm d \hat r} {\rm d t}$$

위에서 등장한 $$$\frac {\rm d \hat r} {\rm d t}$$$를 $$$\hat x$$$와 $$$\hat y$$$로 표현하자.

$$ \frac {\rm d} {\rm d t} \hat r = \frac {\rm d} {\rm d t} \left( \cos \theta \hat x + \sin \theta \hat y \right) \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( -\sin \theta \hat x + \cos \theta \hat y \right) \frac {\rm d \theta} {\rm d t} \\=\omega \hat \theta\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $$

이다. 물론, $$$\omega = \frac {\rm d \theta} {\rm d t}$$$이다.

지금까지의 결과를 합치면,

$$ \vec v = \frac {\rm d r} {\rm d t} \hat r + r \omega \hat \theta$$

가 된다.

가속도 구하기

이제 속도 $$$\vec v$$$를 시간에 대해 한 번 더 미분하여 가속도 $$$\vec a$$$를 구하도록 하자.

$$ \vec a = \frac {\rm d \vec v}{\rm d t}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac {\rm d^2 r}{\rm d t^2} \hat r + \frac {\rm d r}{\rm d t} \frac {\rm d \hat r}{\rm d t} + \frac {\rm d}{\rm d t} \left(r \omega \right) \hat \theta + \left(r \omega \right) \frac {\rm d \hat \theta}{\rm d t} \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\frac {\rm d^2 r}{\rm d t^2} \hat r + \frac {\rm d r}{\rm d t} \omega \hat \theta + \left( \frac {\rm d r}{\rm d t} \omega + r \frac {\rm d \omega}{\rm d t} \right) \hat \theta + r \omega \left(-\omega \hat r \right) \\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left(\frac {\rm d^2 r}{\rm d t^2} - r \omega^2 \right) \hat r + \left( 2 \frac{\rm d r}{\rm d t} \omega + r \frac {\rm d \omega}{\rm d t} \right) \hat \theta$$

드디어 가속도를 극좌표 형태로 표현했다. 위의 식에서 $$$\hat r$$$ 부분과 $$$\hat \theta$$$ 부분이 각각 구심 가속도와 접선 가속도인 것이다.

이렇게 포스트를 마친다.

방정식과 이차방정식의 근의 공식

Zeta611 — Sun, 11 Jan 2015 15:50:38 +0900

지금까지는 미적분, 복소해석학 등에 대한 주제를 다뤘지만, 분위기도 전환할 겸 오늘은 간단하게 방정식의 기본적인 개념과 이차방정식의 근의 공식에 대해 알아보도록 한다. 아무래도 지금까지 설명한 내용은 극소수의 관심사였을 것이다.

오늘 배울 이차방정식의 근의 공식을 익히게 된다면, 당신은 포탄의 궤적도 계산할 수 있으며, 가속도와 변위의 개념도 익힐 수 있는 밑바탕을 세우게 되는 것이므로 잘 알아두도록 하자.

방정식

방정식은 우리가 중학교 1학년, 혹은 초등학교 6학년 때 처음으로 배우는, 혹은 배웠던 개념이다. 하지만 길을 걸어가는 사람 한 명을 붙잡아 방정식의 정의를 물어본다면 제대로 대답할 수 있는 사람이 있을까? 물론 제대로 대답해야할 이유는 없지만 말이다.

마찬가지로 많은 사람들이 의문을 가지는 것이, “수학을 왜 배워야 하는가?” 이다. 대다수의 사람들은 커서 복잡한 방정식을 풀 필요도, 집합론을 공부해야 할 이유도, 미적분을 쓸 일도 없기 때문이다. 하지만 이는 다른 모든 학문에도 적용될 수 있는 질문이며, 조금만 생각해보면 이러한 학문은 일종의 선인들이 깨달은 지혜와 지식이기에 배우는 그 행위 자체에 의미를 부여할 수 있겠다.

이야기가 잠시 다른 곳으로 셌는데, 여하튼 죽기 전에 이 세상의 논리와 이치를 최대한 많이 담아두고 죽는게 나쁘지만은 않은 생각이다. (이차방정식에 대해 다루게 될 것에 비해 조금 거창한 느낌이 들지만…) 이런 의미에서 오늘은 예전에 배웠던, 혹은 앞으로 배울, 아니면 지금 배우고 있는 방정식이 무엇인지 알아보도록 하자.

방정식이란?

방정식은 하나 이상의 변수, 혹은 미지수를 가지고 있는 등식이다. 그런데 변수는 뭐고 등식은 무엇일지 궁금할 수도 있겠다. 간단히 말하자면 변수는 수식에서 변할 수 있는 값을 뜻하고, 등식은 두 수식의 관계를 등호(=)로 표시한 관계이다.

어려울 것 없다. 알기 쉽게 말하면 변수는 $$$x+1=2$$$에서의 $$$x$$$와 같은 것이고, 등식은 $$$1+1=2$$$와 같은 것을 떠올리면 된다.

어쨋든 정리하자면 방정식은 변수가 있는 등식이다. 다시 말해, 이 수는 변할 수 있는 미지의 수이다. 그런데 등호라는 관계로 엮여 있으니, 그 같다는 관계를 충족시키는 변수에 들어갈 알맞은 값이 존재할 것이다. 바로 이 알맞은 값을 구하는 것을 방정식을 푼다고 하는 것이며, 이렇게 구한 값을 방정식의 근 혹은 해라고 한다.

이러한 방정식은 수학의 모든 분야에서 찾을 수 있는 가장 기본적인 개념 중에 하나이다. 수학에 방정식이라는 개념이 추가되는 바로 그 순간부터 수학은 산술의 개념을 벗어나기 때문이다.

그렇다면 방정식의 간단한 예를 들어보자. 아래와 같은 방정식을 생각해보자.

$$x + 1 = 0$$

이 방정식을 풀어보자. 즉, $$$x$$$에 적당한 값을 구해서 이 등식을 참으로 만들어보자. 일단 양변에서 $$$1$$$을 빼면 $$$x = -1$$$이 되는데, 이렇게 $$$x$$$를 간단하게 구했다.

하지만, 이 때 주어져야 할 조건이 있다. 예컨데 $$$x$$$의 범위와 같은 것이다. 만약 $$$x \in \{0\}$$$이라는 조건이 주어졌다면 이 방정식의 해는 $$$\{0\}$$$의 범위에서는 존재하지 않는 것이다. 물론, 아무 말이 없다면 이 방정식의 해는 $$$-1$$$이 되겠다.

이렇게 간단한 예시를 들어보았는데, 이번에는 아래의 방정식을 살펴보자.

$$3x^2 -2x = 4x +3x^2 -6x$$

일단 이 포스트는 방정식을 아얘 모른다는 가정 하에 쓰는 글이기 때문에, 차근차근 설명해보자.

일단 우변을 정리해보자. 일단 덧셈의 교환법칙을 사용하여 우변의 첫째항 $$$4x$$$를 둘째항과 맞바꾸자.

$$3x^2 + 4x - 6x$$

이 되고, 결국 결합법칙을 사용해서

$$3x^2 + \left( 4x - 6x \right)$$

이 된다. 결국,

$$3x^2 - 2x$$

로 정리된다. 이는 원래 좌변과 같은 모양이다. 즉, 이 등식은 $$$0=0$$$과 같은 형태이다. $$$x$$$에 무엇이 들어가든지에 상관이 없이 등식이 성립한다는 것이다. 이렇게 항상 참인 방정식은 항등식이라고 한다. 반대로 $$$x$$$에 어떤 값이 들어가든지와 상관 없이 거짓인 방정식은 불능이라고 한다.

방정식의 종류

이렇게 방정식의 간단한 개념을 알아보았다. 이번에는 중요한 방정식의 종류를 알아보도록 하자.

방정식은 그 꼴이나 미지수의 종류에 따라 다양하게 나눌 수 있다. 미지수가 식의 어떤 위치에 놓여있느냐 등에 따라 말이다. 그리고 이번에는 다항방정식에 대한 간단한 소개를 하여, 그의 특별한 경우인 이차방정식에 대해 알아보는 것이 목적이다.

다항방정식

말그대로 다항식에 변수가 있는 경우. 일반적으로는 다음의 꼴을 가진다.

$$P(x)=0$$

물론 $$$P(x)$$$는 다항식이다.

아래의 경우를 보자.

선형방정식 혹은 일차방정식

정리해서 미지수에 대한 최고차항의 차수가 일차인 방정식이다. 꼭 일변수일 필요는 물론 없다. 예컨데 아래의 꼴을 볼 수 있다. 변수는 $$$x_i$$$, 상수는 $$$a_i$$$이다.

$$ a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b$$

특수한 경우로 일변수일 경우에는 아래와 같이 나타내어진다.

$$ax=b$$

그리고 $$$a \neq 0$$$이라면 하나의 해를 구할 수 있고, 항상 아래와 같은 꼴이다.

$$ x = \frac b a$$

만약 $$$a = 0$$$이면, $$$b=0$$$일 경우 항등식, $$$b \neq 0$$$이면 불능이다.

이변수일 경우에는 좌표평면 위에 두 변수의 관계를 그래프로 그릴 수 있고, 그 이상의 변수는 $$$n$$$ 차 유클리드 공간, 혹은 아핀 공간에 표현할 수 있는데, 어디까지나 이는 여담일 뿐이다.

그리고 이러한 방정식은 행렬, 행렬식, 매개변수, 벡터 등 다양한 형태로 나타낼 수 있다.

이차방정식

이 경우도 꼭 일변수일 필요는 없지만, 고차의 경우에는 예시로 일변수의 경우를 들겠다.

이차방정식은 미지수에 대한 최고차항의 차수가 이차인 방정식이다.

$$ ax^2 + bx + c = 0$$

꼴로 정리되면 된다. 물론 $$$a \neq 0$$$을 잊지 말자.

그렇다면, 이런 $$$x$$$는 아래와 같이 구해줄 수 있다. (유도 과정은 잠시만 기다리자.)

$$ x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}} {2a}$$

이러한 이차방정식은 기원전 2000년 전부터 바빌로니아 사람들에 의해 연구된 방정식이다. 일상 생활에서도 흔히 쓰일 수 있는 방정식이기 때문이다. 일단 면적이나 평면기하만 보더라도 이차방정식은 반드시 풀 수 있어야 문제를 해결 할 수 있는 경우가 많다.

이차방정식의 해법

그렇다면, 이러한 이차방정식은 어떻게 해를 구할 수 있을까? 유도과정을 알아보도록 하자. 다시 말해, 이차방정식의 근의 공식을 유도해보자.

이차방정식의 근의 공식의 유도

일단, 모든 이차방정식은 아래와 같은 꼴로 정리될 수 있음을 다시 한 번 기억해두자. 아래의 형태를 이차방정식의 일반형the standard form of a quadratic equation이라고 한다.

$$ ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \neq 0)$$

이제 조금 간단히 하기 위해서 양변을 $$$a$$$로 나눈다. 이는 이차방정식의 정의에서 $$$a\neq0$$$이라는 조건이 깔려있기에 가능한 것이다.

$$ x^2 + \frac b a x + \frac c a = 0$$

이제, 위 식을 $$$\left(x+p\right)^2 + q$$$의 꼴로 변형시키자. 즉, 제곱항과 상수항만 남겨놓자는 것이다. 이렇게 하는 의도는 바로 제곱항에 제곱근을 씌워준다면 일차방정식의 형태로 변형이 되기 때문이다. 그렇다면, 일단 방금 언급한 $$$\left(x+p\right)^2 + q$$$를 전개한 후, $$$x^2 + \frac b a x + \frac c a = 0$$$과 그 형태를 비교해보자.

$$ \left(x+p\right)^2 + q=x^2+2px+p^2+q$$

이제 각 항의 계수 비교를 통해 p와 q를 결정하자.

$$ x^2+2px+p^2+q = x^2 + \frac b a x + \frac c a$$

이므로, 쉽게 $$$p$$$와 $$$q$$$를 결정할 수 있다.

$$ p = \frac b {2a}\\q = \frac c a - p^2 \\\ \ \ \ \ = \frac c a - \frac {b^2} {4a^2}\\\ \ \ \ \ =\frac {4ac-b^2}{4a^2}$$

그렇다면, 아래와 같이 정리됨을 알 수 있다.

$$ \left(x+\frac b {2a}\right)^2 + \frac {4ac-b^2}{4a^2} = 0$$

제곱항에 제곱근을 씌워주기 위해 상수항은 우변으로 넘겨주자.

$$ \left(x+\frac b {2a}\right)^2 = \frac {{b^2}-4ac}{4a^2}$$

양변에 제곱근을 씌워줄 때는 $$$\pm$$$을 잊지 말자.

$$ \sqrt {\left(x+\frac b {2a}\right)^2} = \pm \sqrt{\frac {{b^2}-4ac}{4a^2}}$$

따라서,

$$ x+\frac b {2a} = \frac {\pm\sqrt{{b^2}-4ac}}{2a}$$

이제 좌변의 상수항도 우변으로 넘겨주면,

$$ x = \frac {-b\pm\sqrt{{b^2}-4ac}}{2a}$$

드디어 구하고자 했던 근의 공식을 구하게 되었다. 이상으로 포스트를 마무리한다.

라그랑주 역학의 적용 및 단진자의 운동

Zeta611 — Sat, 29 Nov 2014 00:10:02 +0900

라그랑주 역학의 적용 및 단진자의 운동

개요

지난번 포스트 라그랑주의 운동방정식에서는 라그랑지안Lagrangian의 소개와 라그랑주 운동방정식에 대해서 알아보았다. 이번 시간에는 예고했듯이 단진자의 운동을 다룰 뿐만이 아니라, 미분방정식을 통한 포물선 운동의 증명과 미분방정식을 통한 케플러 제1,2 법칙의 증명에서 나온 미분방정식을 라그랑주 역학을 통해 비교적 손쉽게 얻어볼 것이다.

특히 케플러의 법칙, 즉 행성의 운동에 관해서는 방정식을 세우는 것이 상당히 까다로웠는데, 이번 시간에서는 ~~신세계~~놀랄만큼이나 간단하게 미분방정식을 세울 수 있다. 이러한 이유로 단진자의 운동방정식을 세울 때에도 라그랑주 역학을 사용하도록 한다. 물론 미분방정식을 통한 케플러 제1,2 법칙의 증명과 비슷한 방법으로 방정식을 세울 수 있기는 하다.

여하튼, 포물선 운동으로 시작해보자. 아! 물론 라그랑주 역학에 대한 이해가 필요하므로, 처음 들어보는 독자들은 라그랑주의 운동방정식를 참고하도록 하자. 또한, 아래의 기호 및 상황 설정은 위에서 소개한 미분방정식을 통한 포물선 운동의 증명과 미분방정식을 통한 케플러 제1,2 법칙의 증명에서 자세히 설명되어 있으니 참고하자.

포물선 운동의 운동방정식 세우기

이 경우, 뉴턴 역학이 더 간단하지만, 소개 차원으로 식을 세워보자.

일단, $$$x$$$축과 $$$y$$$축을 잡아 직교좌표계를 만들자. 운동에너지 $$$T$$$와 위치에너지 $$$U$$$는 각각 다음과 같이 잡으면 될 것이다.

$$ \begin {cases} T = \frac 1 2 m \dot x^2 + \frac 1 2 m \dot y^2 \\ U = mgy \end {cases}$$

물론, 물체의 질량과 중력가속도는 $$$m$$$, $$$g$$$로 잡은 것이다.

따라서, 라그랑지안 $$$\mathcal L$$$은 아래와 같다.

$$ \mathcal L = \frac 1 2 m \dot x^2 + \frac 1 2 m \dot y^2 - mgy$$

라그랑주의 운동방정식을 좌표 $$$x$$$와 $$$y$$$에 대해서 각각 생각해보면 아래 두 식을 쉽게 얻을 수 있다.

$$ \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \frac {\partial \mathcal L} {\partial \dot x} \right) - \frac {\partial \mathcal L} {\partial x} = \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( m \dot x \right) - 0 = m \ddot x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \frac {\partial \mathcal L} {\partial \dot y} \right) - \frac {\partial \mathcal L} {\partial y} = \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( m \dot y \right) + m g = m \ddot y + mg = 0$$

정리하자면,

$$ \begin {cases} \ddot x = 0 \\ \ddot y = -g \end {cases}$$

으로 방정식을 세웠다. 자명한 결과지만, 이렇게 에너지 관점의 라그랑주 역학으로도 구할 수 있다는 것을 보여준 것이다

나머지 과정은 미분방정식을 통한 포물선 운동의 증명과 완전히 같다. 미분방정식을 푸는 것이니 말이다.

행성 운동의 운동방정식

운동에너지와 퍼텐셜에너지는 마찬가지로 $$$T$$$와 $$$U$$$로써 표기한다.

$$ \begin {cases} T = \frac 1 2 m \dot r^2 + \frac 1 2 m \left( r \dot \varphi \right)^2 \\ U = - \frac {GMm} r \end {cases}$$

따라서, 라그랑지안은

$$ \mathcal L = \frac 1 2 m \dot r^2 + \frac 1 2 m \left( r \dot \varphi \right)^2 + \frac {GMm} r$$

이다. $$$\varphi$$$와 $$$r$$$에 대해서 라그랑주 운동방정식을 쓰면,

$$ \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \frac {\partial \mathcal L} {\partial \dot \varphi} \right) - \frac {\partial \mathcal L} {\partial \varphi} = \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( m r^2 \dot \varphi \right) - 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\,\, = m \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( r^2 \dot \varphi \right) \\= 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \frac {\partial \mathcal L} {\partial \dot r} \right) - \frac {\partial \mathcal L} {\partial r} = \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( m \dot r \right) - \left( m r \dot \varphi^2 - \frac {GMm} {r^2} \right) \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = m \ddot r - m r \dot \varphi^2 + \frac {Gmm} {r^2} \\= 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

따라서 우리는 $$$r^2 \dot \varphi$$$가 시간에 무관한 상수임을 알게 되었다. 우선 $$$\mu = r^2 \dot \varphi$$$라고 하면 될 것이고, 두번째 식에서는 $$$\ddot r - r \dot \varphi^2 + \frac {GM} {r^2}$$$이 0이므로 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$ \begin {cases} r^2 \dot \varphi = \mu \\ \ddot r - r \dot \varphi^2 + \frac {GM} {r^2} = 0 \end {cases}$$

마찬가지로 뒷과정은 미분방정식을 통한 케플러 제1,2 법칙의 증명와 같다.

단진자의 운동방정식

우선은, 단진자의 운동방정식만을 구해보자. 그 후, 단진자의 운동방정식을 풀어보도록 한다.

운동에너지 $$$T$$$, 위치에너지 $$$U$$$를 잡고, 진자의 질량 $$$m$$$, 길이 $$$l$$$, 이동한 각도를 위와 같이 $$$\varphi$$$라고 하자.

$$ \begin {cases} T = \frac 1 2 m \left( l \dot \varphi \right)^2 \\ U = mgl \left( 1 - \cos \varphi \right) \end {cases}$$

따라서 라그랑지안을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \mathcal L = \frac 1 2 m l^2 \dot \varphi^2 - mgl \left( 1 - \cos \varphi \right)$$

물론 여기서 유일한 변수는 $$$\varphi$$$ 및 $$$\dot \varphi$$$이다. 참고로 $$$l$$$은 그냥 상수일 뿐이다.

이제 라그랑주 운동방정식을 세우면,

$$ \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \frac {\partial \mathcal L} {\partial \dot \varphi} \right) - \frac {\partial \mathcal L} {\partial \varphi}\,\,\,\,\,\,\\=\frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( m l^2 \dot \varphi \right) + mgl \sin \varphi\\=ml^2 \ddot\varphi + mgl \sin \varphi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ =0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

이 되어,

$$ \ddot \varphi = - \frac g l \sin \varphi$$

이 된다.

단진자의 운동방정식 풀기

$$ \ddot \varphi = - \frac g l \sin \varphi$$

테일러 전개에 의해 $$$\varphi$$$가 미소하면 $$$\sin \varphi = \varphi$$$이다.

$$ \ddot \varphi = - \frac g l \varphi$$

양변에 $$$\dot \varphi$$$를 곱하자. 이는 양변을 적분하기 위함이다. 잘 모르겠으면 계속 읽어보자.

$$ \dot \varphi \ddot \varphi = - \frac g l \dot \varphi \sin \varphi \\ \frac {\mathrm d \varphi} {\mathrm d t} \frac {\mathrm d^2 \varphi} {\mathrm d t^2} = - \frac g l \frac {\mathrm d \varphi} {\mathrm d t} \sin \varphi \\ \frac 1 2 \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \frac {\mathrm d \varphi} {\mathrm d t} \right)^2 = - \frac g {2l} \frac {\mathrm d \varphi^2} {\mathrm d t} \\ \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \frac {\mathrm d \varphi} {\mathrm d t} \right)^2 = - \frac g {l} \frac {\mathrm d \varphi^2} {\mathrm d t}$$

이제 양변을 그대로 적분할 수 있다.

$$ \left( \frac {\mathrm d \varphi} {\mathrm d t} \right)^2 = - \frac g {l} \varphi^2 + C \\ \frac {\mathrm d \varphi} {\mathrm d t} = \pm \sqrt { C - \frac g {l} \varphi^2 }$$

식을 정리하고 근호를 벗기기 위해서는 공식 $$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$$을 이용하면 될 것 같다. 따라서,

$$ \begin {cases} C = \frac g l A^2 \\ \varphi = A \sin \xi \end {cases}$$

라고 하자. 일단 $$$\mathrm d \varphi$$$를 $$$\xi$$$에 대해 나타내자.

$$ \mathrm d \varphi = A \cos \xi \mathrm d \xi$$

이다. 원래 식으로 돌아가서 $$$\mathrm d t$$$를 우변으로 보내면,

$$ \mathrm d \varphi = \pm \sqrt { C - \frac g {l} \varphi^2 } \mathrm d t$$

이 된다. 이제 치환한 값들을 넣어주면,

$$ \mathrm d \xi = \pm \sqrt { \frac g l } \mathrm d t$$

이 되어, 양변을 적분할 수 있다.

$$ \xi = \pm \sqrt {\frac g l} t + \phi$$

이제 $$$\varphi = A\sin\xi$$$를 대입하기 위해 양변에 $$$\sin$$$을 취하고 $$$A$$$를 곱하면,

$$ A \sin \xi = A \sin \left( \pm \sqrt {\frac g l} t + \phi \right)$$

이 되어,

$$ \varphi = A \sin \left( \pm \sqrt {\frac g l} t + \phi \right)$$

이다.

따라서 우리는 주기가 $$$2 \pi \sqrt {\frac l g}$$$임을 알 수 있고, 이는 진폭 $$$A$$$와는 무관하다.

우리는 진자의 등시성을 증명한 것이다. 하지만! 우리는 분명 $$$\varphi$$$를 미소하다고 하여 이의 사인값과 같다고 하였다. 이는 근사적으로 생각한다면 진자의 등시성이 성립한다는 것이다. 다시 말해, 진자의 등시성은 이 진폭이 미소하지 않다면 잘못된 것이다!

이에 관해서는 타원적분에 대해 알아야하는데, 이 주제에 관해서는 다음으로 미뤄두자.

라그랑주의 운동방정식

Zeta611 — Thu, 27 Nov 2014 00:22:02 +0900

라그랑주의 운동방정식

개요

지난 시간에는 이번 포스트가 단진자에 관한 것이라고 계획했었지만 계획~~은 깨지니깐 계획이죠~~이 틀어졌다. 지난 물리 포스트와 연계를 해서 오늘은 라그랑주의 운동방정식Lagrange’s equation of motion에 대해 알아보도록 한다.

어떠한 개념을 정의할 때, 적어도 고등학교 때까지는 어떤 개념의 정의를 절대불변의 이치로 여기는 경우가 많다. 예를 들자면 등변사다리꼴의 정의는 두 밑각의 크기가 같은 사다리꼴이다와 같은 것들 말이다. 사다리꼴에서 평행하지 않은 두 대변의 길이가 같은 사각형으로 정의하여도 크게 문제될 것이 없는데도, 이러한 정의는 잘못된 것으로 치부된다. 하지만 분명히, 틀에 박힌 정의라는 것은 존재할 수가 없다. 다른 예를 들자면, 공리계를 생각해볼 수 있다. 괴델의 불완정성의 원리에 의해 완벽하고 무모순적인 수학 체계는 만들어질 수 없기 때문에, 우리는 처음의 시작점을 다른 공리계로 잡을 수 있다. 선택 공리를 넣느냐 마느냐, 즉 ZFC 집합론이냐 ZF 집합론이냐, 혹은 더 나아가 NBG 집합론이냐 등, 다른 공리로 시작된, 그러나 대부분의 정리에 관해서는 동치인 집합론을 생각해 볼 수 있다.

물리에서도 사정은 비슷하다. 살짝 다른 개념일 수도 있겠지만, 우리의 세계는 (고전적으로는) 뉴턴의 운동법칙으로 잘 설명된다. 뿐만 아니라, 굉장히 논리적으로 설명할 수 있다. 조금 벗어난 이야기이지만, 이는 굉장히 놀라운 일이다. 우리는 다행히 논리적으로 설명할 수 있는 우주에서 살고 있다는 것이기 때문이다. 다시 돌아가서, 뉴턴의 운동법칙은 결국은 $$$F = m a$$$를 만족하는 운동법칙이라고 볼 수 있고, 말로 표현하자면, “A에게 힘을 가하면 $$$\rightarrow$$$ A가 가속도를 가진다” 쯤으로 나타낼 수 있을 것이다. 정형적인 원인과 결과, 즉 인과론적인 법칙인 것이다. 하지만 과연 이런 관점만이 타당한 것일까? 물론 뉴턴 역학만을 접해본 사람들은 이를 지극히 당연한 사실로 받아들인다. 그러나 우리는 목적론적인 관점으로도 우주를 바라볼 수 있다. 바로 라그랑주 역학이다.

물론, 뉴턴 역학과 라그랑주 역학은 (다행히도) 수학적으로 동치란 말을 하고 시작하도록 하자.

참고로, 이번 포스트를 이해하기 위해서는 변분과 오일러-라그랑주 방정식에 대해 알아야 하며, 이를 위해서는 수학 항목에 있는 링크로 연결된 다음의 포스트를 이해하면 된다. 오일러-라그랑주 방정식과 변분법

변분의 계산

일단 다음과 같이 정의하자. 바로 변분 표기법의 정의다. 틸다($$$\tilde {}$$$)가 붙은 것은 원래의 함수에서 변수를 미소하게 이동시킨 함수이다. 변분을 하는 양끝 구간에서는 그 값이 일치된다.

$$ \delta f = f \left( \tilde y (x) \right) - f \left( y (x) \right) \\ \delta y = \tilde y (x) - y (x)$$

사실 오일러-라그랑주 방정식과 변분법에서도 같은 개념을 위 표기법을 사용하지 않고 사용했었다. $$$\epsilon \eta(x)$$$이 바로 위의 $$$\delta y$$$에 해당하는 부분이다. 어쨋든, 매우 간단히 얘기하자면, 변분은 함수의 변수를 미소하게 이동시켜 원래의 함수를 뺀 값이라고 보면 된다.

이제 우리는 $$$\delta f$$$를 테일러 전개할 것이다.

$$ \delta f = f \left( x + \delta x \right) - f (x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= f (x) + \delta x \frac {f'(x)} {1!} + \mathrm {H.O.T.} - f(x) \\ = f'(x) \delta x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

방금 말했듯이, $$$\delta x$$$는 굉장히 미소한 양, 혹은 $$$\epsilon \eta(x)$$$에서 $$$\epsilon$$$이 $$$0$$$에 다가가는 값이기 때문에, $$$\delta x$$$에 관하여 이차항 이상의 항(H.O.T., Higher Order Terms)들은 무시해도 된다.

또한 변분과 미분은 같이 있을 때 위치를 바꾸어도 된다. 즉,

$$ \delta \left( \frac {\mathrm d x} {\mathrm d y} \right)= \frac {\mathrm d \tilde x} {\mathrm d y} - \frac {\mathrm d x} {\mathrm d y} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \,\,\,\,\,\,= \frac {\mathrm d} {\mathrm d y} \left( \tilde x - x \right) \\ = \frac {\mathrm d} {\mathrm d y} \left( \delta x \right)\,\,\,$$

이다. 이 둘을 잘 기억해두자.

라그랑주 운동방정식의 유도

이제 라그랑주 운동방정식을 유도해보도록 한다.

상황을 간단하게 하기위해, 어떤 질량이 $$$m$$$인 질점이 외력을 받아 $$$A$$$라는 위치에서 $$$B$$$라는 위치로 이동했다고 하자. 그리고 운동방향은 $$$x$$$방향으로 직선운동하였다고 하자. 두 점의 좌표는 $$$A\left(x_1\right)$$$, $$$B\left(x_2\right)$$$이라고 하자. 그리고 속력을 $$$v$$$, 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지를 각각 $$$T$$$, $$$U$$$라고 하자. 물론 이들의 변수를 조금 이동한 것들은 모두 위에 틸다를 붙인다.

운동 에너지 $$$T$$$의 변분을 구하자. 일단은 $$$v$$$를 변수로 가진다고 생각해도 무방하다.

$$ \delta T = \delta \left( \frac 1 2 m v^2 \right) = m v \delta v = mv \delta \left( \frac {\mathrm d x} {\mathrm d t} \right) = m v \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \delta x \right)$$

이제 $$$\delta T$$$를 시간에 대해 적분하자.

$$ \int_{t_1}^{t_2} \delta T \mathrm d t = \int_{t_1}^{t_2} mv \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \delta x \right) \mathrm d t$$

여기서 쓸 수 있는 공식, 바로 부분적분 공식을 사용하자.

$$ \int_{t_1}^{t_2} mv \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \delta x \right) \mathrm d t = m v \delta x \big |_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( m v \right) \delta x \mathrm d t$$

그리고 변분의 정의에 따라, $$$\delta x$$$는 $$$t_1$$$과 $$$t_2$$$에서 $$$0$$$이다. 따라서, 우변의 첫째 항은 사라지고, 둘째 항을 정리하면,

$$ m v \delta x \big |_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( m v \right) \delta x \mathrm d t = - \int_{t_1}^{t_2} m \frac {\mathrm d v} {\mathrm d t} \delta x \mathrm d t$$

이렇게 깔끔하게 정리를 끝냈다. 이제 퍼텐셜 에너지에 대해서 생각해보자. 일단 우리는 보존력, 예컨데 중력과 같은,에 의해서만 운동하는 질점을 생각하자. 다시 말해, 퍼텐셜 에너지 $$$U$$$에서만 가속도를 얻는 상황을 생각하자. 수학적으로 표현하자면,

$$ m \frac {\mathrm d^2 x} {\mathrm d t^2} = - \frac {\mathrm d U} {\mathrm d x}$$

또한, 변분의 계산 부분에서 언급했듯이,

$$ \delta U = \frac {\mathrm d U} {\mathrm d x} \delta x$$

이다. 두 식을 연립하여 변형하면,

$$ \delta U = - m \frac {\mathrm d^2 x} {\mathrm d t^2} \delta x = - m \frac {\mathrm d v} {\mathrm d t} \delta x$$

따라서 $$$\delta U$$$를 적분하면,

$$ \int_{x_1}^{x_2} \delta U \mathrm d t = - \int_{x_1}^{x_2} m \frac {\mathrm d v} {\mathrm d t} \delta x \mathrm d t$$

오옷, 이렇게 $$$\delta T$$$와 $$$\delta U$$$를 시간에 대해 적분한 값이 같아졌다. 그렇다면,

$$ \int_{x_1}^{x_2} \left( \delta T - \delta U \right) \mathrm d t = \int_{x_1}^{x_2} \delta \left( T - U \right) \mathrm d t = \delta \int_{x_1}^{x_2} \left( T - U \right) \mathrm d t = 0$$

이 된다. 아…아니?! 이것은 바로 $$$\int_{x_1}^{x_2} \left( T - U \right) \mathrm d t$$$가 정류값을 가진다는 것 아닌가? 그럼 오일러-라그랑주 방정식을 적용시킬 수 있을 것이다.

일단, $$$T-U$$$가 중요한 것 같으니 $$$\mathcal L = T - U$$$로 하자. 사실 $$$\mathcal L$$$은 라그랑지안Lagrangian이다. 그리고 $$$\mathcal L$$$은 물체의 위치, 속도, 시간이 모두 중요한 함수이므로 $$$\mathcal L \left( x, \dot x, t \right)$$$으로 쓸 수 있겠다.

오일러-라그랑주 방정식을 적용하면,

$$ \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \frac {\partial \mathcal L} {\partial \dot x} \right) - \frac {\partial \mathcal L} {\partial x} = 0$$

이 된다. 이것이 바로 라그랑주의 운동방정식이다. 그리고 알아둘 것이, 라그랑지안은 일반화 좌표에서도 그대로 적용된다. 따라서 $$$\mathcal L \left( q, \dot q, t \right)$$$으로 할 수 있다. 결국 아래와 같이 수정해 쓸 수 있다.

$$ \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \frac {\partial \mathcal L} {\partial \dot q} \right) - \frac {\partial \mathcal L} {\partial q} = 0$$

또한, $$$\frac {\partial \mathcal L} {\partial \dot q}$$$에서,

$$ \frac {\partial \mathcal L} {\partial \dot q} = \frac {\partial T} {\partial \dot q} = \frac {\partial} {\partial \dot q} \left( \frac 1 2 m \dot q^2 \right) = m \dot q$$

(퍼텐셜 에너지 $$$U$$$는 $$$\dot q$$$에 대해 미분하면 $$$0$$$이므로)이므로, 운동량을 나타내고 있는 것이다.

어쨋든, 이렇게 라그랑지안을 간단하게 알아보았다.

다음 시간에는 라그랑주 역학을 통해서 미분방정식을 통한 포물선 운동의 증명, 미분방정식을 통한 케플러 제1,2법칙의 증명에서 나온 미분방정식을 굉장히 손쉽게 구하는 마법과 같은 일과, 이어 포스팅을 미뤘던 단진자의 운동에 관해서도 포스팅을 할 계획이다. 물론 우리가 오늘 구해낸 라그랑주 역학이라는 강력한 도구를 통해서 말이다.

오일러-라그랑주 방정식과 변분법

Zeta611 — Wed, 26 Nov 2014 01:08:12 +0900

오일러-라그랑주 방정식과 변분법

개요

어떤 새로운 개념을 배우고 나서는, 다른 종류의 대상에도 이런 개념 비슷한 것이 적용될 수 있을까하는 궁금증이 들기 마련이다. 이러한 자세는 곧 어떠한 개념의 일반화로 이어지며, 수학이나 과학에서 항상 볼 수 있는 현상이다. 지금 바로 생각나는 예로는 수체계의 확장이 있겠다.

어쨋든, 오늘은 정확히 말하자면 일반화는 아니지만, 미분법의 개념을 확장한 변분법calculus of variations이라는 것을 알아볼 것이다.

변분법은 바로 어떤 범함수functionals의 정류값stationary value을 구하는 과정을 말한다. 특히, 이러한 범함수는 부정적분의 형태를 가질 때가 많다. 이 포스트에서는 아래와 같은 범함수를 다룰 것이다. 이러한 형태가 오일러-라그랑주 방정식Euler-Lagrange equation에 관련이 있기 때문이다.

$$ \int_{x_1}^{x_2} f \left( x, \, y (x), \, y' (x) \right)$$

그리고 이러한 오일러-라그랑주 방정식을 통해 이러한 범함수의 정류값을 찾을 수 있다.

오일러-라그랑주 방정식의 유도

아래와 같은 범함수 $$$F$$$를 잡자.

$$ F \left( \tilde y \right) = \int_a^b f \left( x, \, \tilde y (x), \, \tilde y' (x) \right) \mathrm d x$$

이 때, $$$\tilde y (a) = y_a, \, \tilde y (b) = y_b$$$라고 하자. 또한, 이러한 함수들 $$$\tilde y$$$ 중,

$$ \tilde y (x) = y (x) + \varepsilon \eta (x) \mbox {, where } \eta \mbox { is an arbitrary function such that }\eta (a) = \eta (b) = 0$$

으로 $$$y$$$가 $$$F$$$를 최소화한다고 하자. 이렇게 $$$y$$$와 $$$\eta$$$가 정의되면 $$$F$$$는 $$$\varepsilon$$$의 함수가 된다.

$$ F (\varepsilon) = \int_a^b f \left( x, \, \tilde y, \, \tilde y' \right) \mathrm d x = \int_a^b f \left( x, \, y + \varepsilon \eta, \, y' + \varepsilon \eta ' \right) \mathrm d x$$

그리고, $$$\varepsilon = 0$$$일 때 정류값을 가지므로,

$$ \frac {\mathrm d F} {\mathrm d \varepsilon} \bigg | _{\varepsilon = 0} = 0$$

이 성립하게 된다. 이제 $$$\frac {\mathrm d F} {\mathrm d \varepsilon}$$$을 정리해보자. 참고로, 첫째 줄에서 둘째 줄로 넘어갈 때 다변수 함수의 연쇄 법칙chain rule, 혹은 전미분(완전미분)total derivative이 사용되었다.

$$ \frac {\mathrm d F} {\mathrm d \varepsilon} = \int_a^b \frac {\mathrm d} {\mathrm d \varepsilon} \left( f \left( x, \, y + \varepsilon \eta , \, y' + \varepsilon \eta' \right) \right) \mathrm d x \\ = \int_a^b \left( \frac {\partial f} {\partial \tilde y} \frac {\mathrm d \tilde y} {\mathrm d \varepsilon} + \frac {\partial f} {\partial \tilde y'} \frac {\mathrm d \tilde y'} {\mathrm d \varepsilon} \right) \mathrm d x \,\,\,\, \\ = \int_a^b \left( \frac {\partial f} {\partial \tilde y} \eta + \frac {\partial f} {\partial \tilde y'} \eta' \right) \mathrm d x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

하지만 아직은 무언가가 부족하다. 식에 $$$\eta'$$$ 항이 남아있는데, 이 항을 없애버리고 싶다. 이를 위해서 부분적분법을 사용한다.

$$ \int_a^b \left( \frac {\partial f} {\partial \tilde y} \eta + \frac {\partial f} {\partial \tilde y'} \eta' \right) \mathrm d x = \int_a^b \left( \frac {\partial f} {\partial \tilde y} - \frac {\mathrm d} {\mathrm d x} \left( \frac {\partial f} {\partial \tilde y'} \right) \right) \eta \mathrm d x + \frac {\partial f} {\partial \eta'} \eta \bigg| _a^b = 0$$

처음 정의에서 $$$\eta (a) = \eta (b) = 0$$$이었으므로 $$$\frac {\partial f} {\partial \eta'} \eta \big| _a^b = 0$$$이다.

따라서, 임의의 함수 $$$\eta$$$에 대해 아래의 식이 성립하므로,

$$ \int_a^b \left( \frac {\partial f} {\partial \tilde y} - \frac {\mathrm d} {\mathrm d x} \left( \frac {\partial f} {\partial \tilde y'} \right) \right) \eta \mathrm d x$$

에서

$$ \frac {\partial f} {\partial \tilde y} - \frac {\mathrm d} {\mathrm d x} \left( \frac {\partial f} {\partial \tilde y'} \right) = 0$$

을 만족한다.

이 식을 바로 오일러-라그랑주 방정식이라고 한다.

미분방정식을 통한 케플러 제1,2법칙의 증명

Zeta611 — Fri, 21 Nov 2014 02:47:34 +0900

미분방정식을 통한 케플러 제1,2법칙의 증명

개요

지난 물리학 포스트에서는 미분방정식을 풀어 물체의 포물선 운동에 대해 알아보았다. 이번 포스트에서는 케플러 법칙 및 행성의 운동에 대해서 수학적으로 분석해보자. 특히, 뉴턴의 만유인력의 법칙을 통해 케플러 제1, 2법칙을 증명해보이자. 이번 포스트는 미분방정식을 사용한다는 것에 의의를 가지기 때문에 조화의 법칙인 케플러 제3법칙은 나중에 별도의 포스트로 증명하기로 한다.

이번 포스트에서는 항성 하나와 행성 하나가 공전하는 항성계를 다뤄보자. 이를 위해서 필요한 것은 뉴턴의 만유인력의 법칙, 극좌표계, 미분방정식 등이다.

일단, 누구나 아는 사실이지만 뉴턴의 만유인력의 법칙을 아래에 써본다.

$$ F = G \frac {M m} {r^2}$$

물론 $$$F$$$는 만유인력의 크기, $$$M$$$과 $$$m$$$은 두 물체의 질량, $$$r$$$은 두 물체 간 거리, $$$G$$$는 만유인력 상수이다.

그리고 이 포스트에서는 미분의 표기법으로 라이프니츠의 표기와 더불어 뉴턴의 표기도 사용할 것이다. 특히 시간에 관한 미분은 뉴턴의 표기를 사용하는 경우가 많을 것이다.

미분에서의 라이프니츠의 표기와 뉴턴의 표기는 바로 아래와 같다. 그리고 추가로 라그랑주의 표기와 오일러의 표기도 넣어보았다. 순서대로 라이프니츠, 뉴턴, 라그랑주, 오일러의 표기이다.

$$ \frac {\text d x} {\text d t} = \dot x = x' = D_t x$$

마지막으로 회전한 직교좌표계의 좌표 변환식을 아래에 써본다. 증명은 생략한다. 나중에 수학 카테고리에서 소개할 일이 있을 것이다.

$$ \begin {pmatrix} x' \\ y' \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end {pmatrix} \begin {pmatrix} x \\ y \end {pmatrix}$$

이를 통해 직교좌표계에서 극좌표계로 가속도의 성분을 변환할 수 있다.

미분방정식 세우기

일단 행성의 좌표를 $$$\left( x, y \right)$$$이라고 하자. 행성의 운동은 아무래도 힘이 $$$r$$$ 방향만 걸리기 때문에 극좌표로 나타내는 것이 좋을 것이다.

$$ \begin {cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end {cases}$$

이렇게 구한 좌표를 시간 $$$t$$$에 대해 두 번 미분하여 가속도를 산출하자.

일단 한 번 미분하자.

$$ \begin {cases} \dot x = \dot r \cos \theta - r \sin \theta \dot \theta \\ \dot y = \dot r \sin \theta + r \cos \theta \dot \theta \end {cases}$$

조금 복잡한 감이 없지는 않았지만, 연쇄법칙과 곱의 미분법만 사용하면 되는 과정이었다.

이제 한 번 더 미분하여 가속도를 구하자. 마찬가지로 계산은 조금 복잡하다.

$$ \begin {cases} \ddot x = \ddot r \cos \theta - \dot r \dot \theta \sin \theta - \dot r \dot \theta \sin \theta - r \ddot \theta \sin \theta - r \dot \theta^2 \cos \theta \\ \,\,\,\,= \ddot r \cos \theta - 2 \dot r \dot \theta \sin \theta - r \ddot \theta \sin \theta - r \dot \theta^2 \cos \theta \\ \ddot y = \ddot r \sin \theta + \dot r \dot \theta \cos \theta + \dot r \dot \theta \cos \theta + r \ddot \theta \cos \theta - r \dot \theta^2 \sin \theta \\ \,\,\,\, = \ddot r \sin \theta + 2 \dot r \dot \theta \cos \theta + r \ddot \theta \cos \theta - r \dot \theta^2 \sin \theta \end {cases}$$

역시 이 상태로는 무리이다. 극좌표로 나타내자.

$$ \begin {pmatrix} \alpha_r \\ \alpha_\theta \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end {pmatrix} \begin {pmatrix} \ddot x \\ \ddot y \end {pmatrix}$$

이라는 관계였으므로, 방금 구한 식을 대입하자.

$$ \begin {pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end {pmatrix} \begin {pmatrix} \ddot x \\ \ddot y \end {pmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\begin {pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end {pmatrix} \begin {pmatrix} \ddot r \cos \theta - 2 \dot r \dot \theta \sin \theta - r \ddot \theta \sin \theta - r \dot \theta^2 \cos \theta \\ \ddot r \sin \theta + 2 \dot r \dot \theta \cos \theta + r \ddot \theta \cos \theta - r \dot \theta^2 \sin \theta \end {pmatrix} \\= \begin {pmatrix} \ddot r \cos^2 \theta - 2 \dot r \dot \theta \sin \theta \cos \theta - r \ddot \theta \sin \theta \cos \theta - r \dot \theta^2 \cos^2 \theta \\+ \ddot r \sin^2 \theta + 2 \dot r \dot \theta \sin \theta \cos \theta + r \ddot \theta \sin \theta \cos \theta - r \dot \theta^2 \sin^2 \theta \\\\ - \ddot r \sin \theta \cos \theta + 2 \dot r \dot \theta \sin^2 \theta + r \ddot \theta \sin^2 \theta + r \dot \theta^2 \sin \theta \cos \theta \\+ \ddot r \sin \theta \cos \theta + 2 \dot r \dot \theta \cos^2 \theta + r \ddot \theta \cos^2 \theta - r \dot \theta^2 \sin \theta \cos \theta \end {pmatrix} \\ = \begin {pmatrix} \ddot r - r \dot \theta^2 \\ 2 \dot r \dot \theta + r \ddot \theta \end {pmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

다시 한 번 느끼지만, 뉴턴의 표기법이 없었다면 큰일이 났을 것이다. 참고로, 식정리에는 $$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$$이 이용되었다. 역시 극좌표로 정리하니 간단해졌다.

이제 $$$m \alpha_r = - G \frac {M m} {r^2}$$$이고, $$$m \alpha_\theta = 0$$$이므로, 아래의 관계가 성립한다.

$$ \begin {cases} \ddot r - r \dot \theta^2 = - \frac {GM} {r^2} \\ 2 \dot r \dot \theta + r \ddot \theta = 0 \end {cases}$$

미분방정식 풀기

이제 위에서 구한 방정식을 통해 $$$r$$$과 $$$\theta$$$의 관계를 알아보자.

일단 두 번째 식을 살펴보자. 분명 하나의 형태를 미분한 것으로 나타낼 수 있을 것 같다. 곱미분 비슷한 형태로 나타어질 수 있는 형태이기 때문이다.

$$ 2 \dot r \dot \theta + r \ddot \theta = \frac 1 r \frac {\text d} {\text d t} \left( r^2 \dot \theta \right) = 0$$

어떤 값을 시간에 대해 미분했더니 값이 $$$0$$$이 나왔다! 다시 말해, $$$r^2 \dot \theta$$$는 시간에 불변인 상수이다. 이 상수값을 $$$\mu$$$라고 하자.

$$ r^2 \dot \theta = \mu$$

무언가 떠오르는 것이 없는가? 케플러의 제2법칙인 면적 속도 일정의 법칙이다! 어쨋건 중요한 사실을 알았으니 시간에 관한 항도 하나 줄일겸, $$$\dot \theta = \frac \mu {r^2}$$$이라고 놓고 첫 번째 식에 대입하자.

$$ \ddot r - r \dot \theta^2 = \ddot r - r \left( \frac \mu {r^2} \right)^2 =\ddot r - \frac {\mu^2} {r^3} = - \frac {GM} {r^2}$$

이제 양변에 $$$r^2$$$을 곱하면,

$$ r^2 \ddot r - \frac {\mu^2} r = -GM$$

이 된다. 아무래도 시간에 관계없이 $$$r$$$과 $$$\theta$$$만의 관계를 알아내 행성의 궤도를 구하는 것이 목적이므로, $$$\ddot r$$$을 아래와 같이 처리해주자.

$$ \dot r = \frac {\text d r} {\text d t} = \frac {\text d r} {\text d \theta} \frac {\text d \theta} {\text d t} = \frac {\text d r} {\text d \theta} \dot \theta = \frac {\text d r} {\text d \theta} \frac \mu {r^2}$$

이제 이 식을 $$$r^2 \ddot r - \frac {\mu^2} r = -GM$$$에 대입하면,

$$ r^2 \ddot r - \frac {\mu^2} r\,\,\,\,\,\, \\= r^2 \frac {\text d} {\text d t} \left( \dot r \right) - \frac {\mu^2} r \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,= r^2 \frac {\text d \theta} {\text dt} \frac {\text d} {\text d \theta} \left( \dot r \right) - \frac {\mu^2} r \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= r^2 \dot \theta \frac {\text d} {\text d \theta} \left( \frac {\text d r} {\text d \theta} \frac \mu {r^2} \right) - \frac {\mu^2} r \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= \mu^2 \frac {\text d} {\text d \theta} \left( \frac 1 {r^2} \frac {\text d r} {\text d \theta} \right) - \frac {\mu^2} r \\= - G M\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

이고, 양변에서 $$$\mu^2$$$을 나눠주자.

$$ \frac {\text d} {\text d \theta} \left( \frac 1 {r^2} \frac {\text d r} {\text d \theta} \right) - \frac 1 r = - \frac {GM} {\mu^2}$$

이 때, $$$\frac 1 r = \lambda$$$로 치환하자. 그런데, 한 번 $$$\lambda$$$를 $$$\theta$$$에 관하여 미분해보자.

$$ \frac {\text d \lambda} {\text d \theta} = \frac {\text d r} {\text d \theta} \frac {\text d \lambda} {\text d r} = \frac {\text d r} {\text d \theta} \left( - \lambda^2 \right) = - \lambda^2 \frac {\text d r} {\text d \theta}$$

그렇다면,

$$ \frac 1 {r^2} \frac {\text d r} {\text d \theta} = \lambda^2 \frac {\text d r} {\text d \theta} = - \frac {\text d \lambda} {\text d \theta}$$

가 되어,

$$ \frac {\text d} {\text d \theta} \left( \frac 1 {r^2} \frac {\text d r} {\text d \theta} \right) - \frac 1 r = - \frac {{\text d}^2 \lambda} {\text d \theta^2} - \lambda = - \frac {G M} {\mu^2}$$

이다. $$$-\lambda$$$ 항을 우변으로 이항시키자.

$$ - \frac {{\text d}^2 \lambda} {\text d \theta^2} = \lambda - \frac {G M} {\mu^2}$$

이 때, $$$- \frac {G M} {\mu^2}$$$는 상수이기 때문에, 아래의 식을 만족시킨다.

$$ - \frac {{\text d}^2} {\text d \theta^2} \left( \lambda - \frac {G M} {\mu^2} \right) = - \frac {{\text d}^2 \lambda} {\text d \theta^2}$$

결국 $$$\lambda - \frac {G M} {\mu^2} = \eta$$$로 치환한다면 식은 다음과 같이 정리된다.

$$ - \frac {{\text d}^2 \eta} {\text d \theta^2} = \eta$$

굉장히 간단해졌으며, 이러한 미분방정식의 실수해는 이미 잘 알려진 꼴이며, 바로 $$$\eta = A \cos \left( \theta + \Delta \right)$$$이다. 치환된 $$$\eta$$$를 다시 $$$r$$$에 관해 나타내면 아래의 식이 된다.

$$ \frac 1 r - \frac {G M} {\mu^2} = A \cos \left( \theta + \Delta \right)$$

다시 $$$r$$$에 관해 정리하자.

$$ r = \frac 1 {A \cos \left( \theta + \Delta \right) + \frac {G M} {\mu^2}}$$

그런데 우리가 원하는 것은 궤도이므로 $$$\cos$$$ 함수에 들어있는 위상 $$$\Delta$$$는 $$$0$$$으로 놓아도 된다. 더불어 $$$l = \frac {\mu^2} {G M}, \varepsilon = l A$$$라고 놓자. 정리하면,

$$ r = \frac 1 {A \cos \theta + \frac 1 l} = \frac l {1 + \varepsilon \cos \theta}$$

이 되어 이심률 $$$\varepsilon$$$인 타원이 된다! 아, 이 방정식이 타원의 방정식이라는 것은 나중에 수학 카테고리의 기하학 항목에서 원뿔곡선과 함께 다룰 것이다.

이렇게 미분방정식을 풀어 가정한 항성계의 행성은 타원의 궤도를 그린다는 사실, 즉 케플러 제1법칙을 수학적으로 증명해보았다. 비록 행성이 하나인 특수한 경우이지만, 의미있는 결과이다. 이번 포스트는 여기에서 마무리하도록 한다.

미분방정식을 통한 포물선 운동의 증명

Zeta611 — Thu, 20 Nov 2014 03:16:46 +0900

미분방정식을 통한 포물선 운동의 증명

개요

공기저항이 없고, 지표면은 평평하며, 중력장은 모든 위치에서 항상 같은 값을 가진다고 하자. 이때, 어떤 물체 - 예컨데 투포환 - 을 던지면 손에서 놓은 그 순간부터의 물체의 궤적은 어떨까?

이 물체가 포물선을 그릴 것이라는 것은 대부분이 아는 사실이다. 물리 카테고리의 첫 포스트인 이번 포스트는, 왜 이러한 물체가 포물선 운동을 하는지 뉴턴의 운동법칙을 통해서 알아본다.

물체의 궤적

일단, 질량 $$$m$$$인 물체를 (그림과 같이) 원점에서 초속도 $$$v_0$$$와 상향 $$$\theta$$$의 각도로 $$$t = 0$$$에 던졌다고 하자. 그리고 시간 $$$t$$$에서 물체의 속도를 $$$\mathbf v = \left( v_x, v_y \right)$$$라고 하며, 이때 물체가 받는 힘을 $$$\mathbf F = \left( F_x, F_y \right)$$$라고 하자.

그렇다면, 뉴턴의 제2법칙을 통해

$$ \mathbf F = m \frac {\text d \mathbf v} {\text d t}$$

이 된다. 그렇다면, 이제 힘의 정확한 형태를 따져보자. 음… 뭐 따져볼 것도 없이 수평 방향의 성분은 $$$0$$$이고, 연직 방향 성분만 아랫쪽으로 중력가속도의 크기가 $$$g$$$일 때 그 크기는 $$$mg$$$가 될 것이다. 따라서 $$$\mathbf F = \left( 0, -mg \right)$$$이다.

이제 지금까지 얻은 식을 정리해보면,

$$ \begin{cases} F_x = 0 = m \frac {\text d v_x} {\text d t} \\ F_y = -mg = m \frac {\text d v_y} {\text d t} \end{cases}$$

이다.

$$$F_x$$$ 부분에서 미분하여 0이 된다는 것은 곧 그 값이 상수라는 것이므로,

$$v_x (t) = \text{const.}$$

이다. 더 나아가, $$$v_x (0) = v_0 \text {cos} \theta$$$이므로,

$$v_x (t) = v_0 \text {cos} \theta$$

이다. 사실 이는 뉴턴의 제1법칙인 관성의 법칙에 따른 결과이다. 수평방향으로의 외력이 없기에 속도도 바뀌지 않은 것이다.

다음으로 $$$F_y$$$ 성분을 살펴보자.

$$\frac {\text d v_y} {\text d t} = -g$$

이므로,

$$\text d v_y = -g \text d t$$

이다. 양변을 적분하면

$$\int \text d v_y = \int -g \text d t$$

이므로

$$v_y (t) = -gt + C$$

이다. 적분상수 $$$C$$$를 결정하기 위해서는 아까와 같이 초기속도와 발사각을 고려하면 된다. $$$v_y (0) = C = v_0 \text {sin} \theta$$$이다.

지금까지의 결과를 정리해보자.

$$ \begin{cases} v_x (t) = v_0 \text {cos} \theta \\ v_y (t) = -gt + v_0 \text {sin} \theta\end{cases}$$

그런데 속도는 위치를 미분한 것이므로, 아래와 같이 다시 쓸 수 있다.

$$ \begin{cases} \frac {\text d x} {\text d t} = v_0 \text {cos} \theta \\ \frac {\text d y} {\text d t} = -gt + v_0 \text {sin} \theta\end{cases}$$

우선 $$$x$$$ 성분부터 적분하자.

$$ \frac {\text d x} {\text d t} = v_0 \text {cos} \theta \\ \int \text d x = \int v_0 \text {cos} \theta \text d t \\ \therefore x(t) = v_0 t \text {cos} \theta + D$$

이 때, 적분상수 $$$D$$$는 $$$x(0) = 0$$$이었으므로 $$$0$$$이다.

마찬가지로 $$$y$$$ 성분도 적분해보자.

$$ \frac {\text d y} {\text d t} = -gt + v_0 \text {sin} \theta \\ \int \text d y = \int \left( -gt + v_0 \text {sin} \theta \right) \text d t \\ \therefore y(t) = - \frac 1 2 g t^2 + v_0 t \text {sin} \theta + E$$

그리고 같은 이유로 $$$E = 0$$$이다.

다시 써보면,

$$ \begin{cases} x(t) = v_0 t \text {cos} \theta \\ y(t) = - \frac 1 2 g t^2 + v_0 t \text {sin} \theta \end{cases}$$

$$$x$$$ 성분에서 $$t = \frac x {v_0 \text {cos} \theta}$$

이므로 $$$y$$$ 성분에 이를 대입하면 아래의 식이 나온다.

$$ y = - \frac 1 2 g \left( \frac x {v_0 \text {cos} \theta} \right)^2 + v_0 \left( \frac x {v_0 \text {cos} \theta} \right) \text {sin} \theta \\ = - \frac g {2 v_0^2 \text {cos}^2 \theta} x^2 + x \text {tan} \theta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

결국 식이 $$$x$$$에 관한 이차함수이므로 물체의 궤적이 포물선을 그림을 알 수 있다.

최고 도달점

방금 구한 식

$$ y = - \frac g {2 v_0^2 \text {cos}^2 \theta} x^2 + x \text {tan} \theta$$

을 $$$x$$$에 대해 미분하여 0이 나오는 값이 극값인데, 특히 이 경우는 최댓값이 나오므로, 최고 도달점의 좌표를 구할 수 있다.

$$ \frac {\text d y} {\text d x} = - \frac g {v_0^2 \text {cos}^2 \theta} x + \text {tan} \theta = 0 \\ \therefore x = \frac {v_0^2 \text {cos}^2 \theta} g \text {tan} \theta \\ \,\,\,\,\,\,\,\,= \frac {v_0^2 \text {cos}^2 \theta} g \frac {\text {sin} \theta} {\text {cos} \theta} \\ \,\,= \frac {v_0^2 \text {sin} \theta \text {cos} \theta} g \\ = \frac {v_0^2 \text {sin} 2\theta} {2g}\,\,\,\,$$

이렇게 구한 $$$x$$$의 값을 $$$y$$$에 대입하자.

$$ y = - \frac g {2 v_0^2 \text {cos}^2 \theta} {\left( \frac {v_0^2 \text {sin} 2\theta} {2g} \right)}^2 + \left( {\frac {v_0^2 \text {sin} 2\theta} {2g}} \right) \text {tan} \theta \\ = - \frac {v_0^2 \text{sin}^2 \theta} {2g} + \frac {v_0^2 \text{sin}^2 \theta} {g}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ = \frac {v_0^2 \text{sin}^2 \theta} {2g} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

결국 최고 도달점의 좌표는

$$ \left(\frac {v_0^2 \text {sin} 2\theta} {2g} , \frac {v_0^2 \text{sin}^2 \theta} {2g}\right)$$

이 된다.

최장 도달점

이번에는 $$$y = 0$$$이 되는 지점에서의 $$$x (\neq 0)$$$를 구하면 된다.

$$ y = - \frac g {2 v_0^2 \text {cos}^2 \theta} x^2 + x \text {tan} \theta = 0 \\ x \left( - \frac g {2 v_0^2 \text {cos}^2 \theta} x + \text {tan} \theta \right) = 0 \\ - \frac g {2 v_0^2 \text {cos}^2 \theta} x + \text {tan} \theta = 0 \\ \frac g {2 v_0^2 \text {cos}^2 \theta} x = \text {tan} \theta \\ x = \frac {2 v_0^2 \text{cos}^2 \theta} g \text {tan} \theta \\ \,\,\,\,= \frac {2 v_0^2 \text{cos}^2 \theta} g \frac {\text {sin} \theta} {\text {cos} \theta} \\ = \frac {2 v_0^2 \text {sin} \theta \text{cos} \theta} g\,\, \\ = \frac {v_0^2 \text {sin} 2\theta} g\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

따라서,

$$x = \frac {v_0^2 \text {sin} 2\theta} g$$

일 때가 최대이다. 그리고 이 상황에서 $$$x$$$를 최대로 만드는 $$$\theta$$$ 값은 $$$\frac \pi 4 = 45^\circ$$$임을 $$$\text {sin} 2 \theta$$$를 통해 쉽게 알 수 있다. ($$$\text {sin} 2 \theta$$$의 최대값은 1이며, 이 때의 $$$\theta$$$ 값은 $$$0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ$$$에서 $$$45^\circ$$$ 뿐이기 때문이다.)

이렇게 이번 포스트에서는 포물선 운동에 대해 알아보는 시간을 가졌다.

[복소해석학] 4. 가군과 벡터 공간 및 좌표계

Zeta611 — Thu, 20 Nov 2014 00:22:39 +0900

복소해석학

4. 가군과 벡터 공간 및 좌표계

개요: 이번 포스트에서는 가군module과 벡터 공간vector space의 정의에 대해서 알아본다. 그리고 복소평면을 소개하기 위한 단추로 좌표계에 대해서 알아본다. 참고로 이번 포스트는 해석학보다는 대수학에 훨씬 더 가깝다.

경고: 이 글을 이해하기 위해서는 대수적 구조algebraic structure, 체field, 환ring, 아벨군abelian group의 개념과 기본적인 벡터의 성질을 알아야 한다. ~~벡터장과는 다르다!~~ 또한, 이 포스트를 이해하기 위해서는 종이와 펜(혹은 필기구)이 필요할 것이다.

복소수 집합과 관련한 환과 체에 관해서는 1. 복소수의 정의 및 기본 성질을 읽어보면 조금 도움이 될 것이다. 그리고 군, 환, 체, 아벨군, 대수적 구조의 전체적인 설명에 관해서는 3. 대수적 구조에 대한 공리을 참고하길 바란다.

참고로, 이 글을 처음 보면 생소한 개념일 수도 있겠지만, 한 줄씩 읽어내려가면 그렇게 어려운 내용은 없을 것이라고 예상한다. 단순히 용어나 정의가 생소하기 때문이지, 그 개념 자체가 어려운 것은 아니기 때문이다. 또한, 엄밀한 구성을 위해 기초적인 내용까지 다루는 것도 한 가지 어렵게 느껴지는 이유가 되겠다.

1. 가군

우선 벡터 공간을 알아보기에 앞서 가군에 대해 알아보도록 하자.

가군, 혹은 모듈은 생소한 개념일 수도 있지만, 단순히 말하자면 벡터 공간을 확장한 개념이다. 하지만 이번 포스트에서는 가군을 통해 벡터 공간을 정의한다. 즉, 벡터 공간은 가군의 특수한 경우로써 다룰 것이다.

우선 좌과군에 대해 알아본다. 좌가군은 정의 4.1를 통해 정의된다.

참고로, 이 블로그에서 환ring이라고 부를 때는 지난 포스트를 보면 알겠듯이 일반적으로 곱셈에 대한 항등원이 없는 경우를 말한다. (뇌터식Noether) 곱셈에 대한 항등원이 있는 경우는 유니탈 환unital ring이라고 부를 것이다. 실제로, 곱셈에 대한 항등원이 있는 경우를 환, 없는 경우를 유사환pseudo-ring, 혹은 rng라고 부르는 경우가 있다.

여담이지만, rng에서 i가 빠진 이유는 항등원을 뜻하는 identity의 맨 앞자 i를 제거한 것이다. 물론 영어권에서나 사용될 수 있는 유머(?)이다.

정의 4.1 (좌가군)

아벨군$$$\left( G, +_G \right)$$$이 환 $$$\left( R, +_R, \times_R \right)$$$에 대해서 아래의 공리들을 만족하면 대수적 구조 $$$\left( G, +_G, \circ \right)_R$$$는 $$$R$$$-좌가군left $$$R$$$-module $$$_R G$$$이 된다. 이 때, 연산 $$$\circ$$$에 대해 $$$G$$$는 닫혀있다.

공리 4.1.1 (좌분배법칙)

$$ \forall \lambda \in R : \forall x, y \in G : \lambda \circ \left( x +_G y \right) = \left( \lambda \circ x \right) +_G \left( \lambda \circ y \right)$$

공리 4.1.2 (우분배법칙)

$$ \forall \lambda, \mu \in R : \forall x \in G : \left( \lambda +_R \mu \right) \circ x = \left( \lambda \circ x \right) +_G \left( \mu \circ x \right)$$

공리 4.1.3 (결합법칙)

$$ \forall \lambda, \mu \in R : \forall x \in G : \left( \lambda \times_R \mu \right) \circ x = \lambda \circ \left( \mu \circ x \right)$$

이렇게 덧셈 기호와 곱셈 기호에 아래 첨자까지 붙여가며 ~~생노가다~~고생을 한 이유는 이러한 연산이 어떤 집합에서 정의된 것인지 확실하게 하기 위함이다.

좌가군이 있으니 우가군도 있을 것이다.

우가군도 좌가군과 완전히 같은 방식으로 정의한다.

정의 4.2 (우가군)

아벨군$$$\left( G, +_G \right)$$$이 환 $$$\left( R, +_R, \times_R \right)$$$에 대해서 아래의 공리들을 만족하면 대수적 구조 $$$\left( G, +_G, \circ \right)_R$$$는 $$$R$$$-우가군right $$$R$$$-module $$$G_R$$$이 된다. 이 때, 연산 $$$\circ$$$에 대해 $$$G$$$는 닫혀있다.

공리 4.2.1 (좌분배법칙)

$$ \forall x \in G : \forall \lambda, \mu \in R : x \circ \left( \lambda +_R \mu \right) = x \circ \lambda +_G x \circ \mu$$

공리 4.2.2 (우분배법칙)

$$ \forall x, y \in G : \forall \lambda \in R : \left( x + y \right) \circ \lambda = x \circ \lambda +_G y \circ \lambda$$

공리 4.2.3 (결합법칙)

$$ \forall x \in G : \forall \lambda, \mu \in R : x \circ \left( \lambda \times_R \mu \right) = \left( x \circ \lambda \right) \circ \mu$$

이렇게 좌가군과 우가군에 대해 알아보았다. 사실 그 공리는 거의 같았다. 단순히 연산의 순서를 바꾼 것 뿐이었다.

그리고 짐작대로 양쪽가군, 혹은 바이모듈bimodule도 존재한다.

정의 4.3 (양쪽가군)

아벨군 $$$\left(G, +_G \right)$$$이 $$$R$$$-좌가군(정의 4.1)인 동시에 $$$S$$$-우가군(정의 4.2)이며, 아래의 성질을 만족하면 대수적 구조 $$$\left( G, +_G, \circ \right)_{RS}$$$는 $$$R$$$-$$$S$$$-양쪽가군bimodule $$$_R G_S$$$이 된다.

$$ \forall \lambda \in R : \forall x \in G : \forall \mu \in S : \left( \lambda \circ x \right) \circ \mu = \lambda \circ \left( x \circ \mu \right)$$

특별히, $$$R$$$-$$$R$$$-양쪽가군은 간단히 $$$R$$$-양쪽가군이라고 부른다. 하지만 환 $$$\left( R, +_R, \times_R \right)$$$이 가환환인 경우, 자명히 좌가군과 우가군은 일치하기 때문에 단순히 $$$R$$$-가군이라고 부른다.

이렇게 가군에 대해 알아보았다. 그리고 지금까지의 경우, 우리는 처음에 언급했듯이 곱셈에 대한 항등원이 없는 경우를 살펴보았다. 이제 곱셈에 대한 항등원, 혹은 유니티unity가 있는 가군에 대해 알아보자.

참고로 유니티는 단위원이라고도 부르지만, 유니탈 가군의 유니탈처럼 형용사로 사용하는 방법이 없어 일관성 있게 유니탈, 유니티를 명칭으로 사용하겠다.

정의 4.4 (유니탈 가군)

유니탈 환 $$$\left( R, +_R, \times_R \right)$$$과 아벨군 $$$\left( G, +_G \right)$$$에 대해서 공리 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3, 4.4.1을 만족하면 유니탈 좌가군, 공리 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, 4.4.1을 만족하면 유니탈 우가군이라고 정의한다. 마찬가지로 공리 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3, 4.2.1, 4.2.2, 4.2.3, 4.4.1을 따른다면 유니탈 양쪽가군이라고 정의하자. 물론 유니탈 환 $$$R$$$이 가환환이라면 단순히 공리 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3, 4.4.1만 만족하여도 좌가군, 우가군이 모두 되므로 간단히 유니탈 가군이라고 부른다.

공리 4.4.1 (유니티의 존재성)

$$ \forall x \in G : 1_R \circ x = x$$

참고로 정의 4.4에서 공리 4.1.1, …, 공리 4.1.3 대신 정의 4.1을 적지 않은 이유는 정의 4.1에서는 $$$\left( R, +_R, \times_R \right)$$$은 유니탈 환이 아니라고 정의했기 때문이다.

부분가군도 아래에서 쓸 일이 있어 정의해둔다.

정의 4.5 (부분가군)

$$$\left( R, +, \circ \right)$$$을 환이라고 하고, $$$\left( S, +, \circ \right)$$$은 $$$R$$$-대수적 구조라고 하자. 또한, $$$T$$$는 $$$S$$$의 닫힌 부분집합이라고 하자.$$$\left( T, +_T, \circ_T \right)_R$$$이 $$$R$$$-가군일 때, 아래의 조건을 만족하면 이를 $$$\left( S, +, \circ \right)_R$$$의 부분가군submodule이라고 정의한다.

$$$+_T$$$는 $$$T \times T$$$에서의 $$$+$$$의 제한이다. 또한, $$$\circ_T$$$는 $$$R \times T$$$에서의 $$$\circ$$$의 제한이다.

참고로, 어떤 연산의 제한이라는 것은 연산의 결과는 같지만, 연산이 행해지던 각 원소들의 정의역이 원래의 정의역의 부분집합이 된다는 것으로, 매우 간단한 개념이다.

이렇게 가군에 대해 알아보았다. 참고로 아래에서 아무 말 없이 가군이라고 하면 좌가군을 의미하는 것이다.

2. 벡터 공간, 벡터, 스칼라

위에서 벡터 공간은 가군의 특수한 경우라고 했다. 그렇다면 벡터 공간이란 어떤 성질을 만족하는 집합일까?

정의 4.6 (벡터 공간)

$$$\left( R, +_R, \times_R \right)$$$이 가환 나눗셈환, 즉 체이고 $$$\left( G, +_G \right)$$$이 아벨군이면서 $$$\left( G, +_G, \circ \right)$$$이 유니탈 $$$R$$$-가군(정의 4.4)이라고 하자.

그렇다면 $$$\left( G, +_G, \circ \right)_R$$$는 $$$R$$$-벡터 공간이 된다.

(가환 나눗셈환은 항상 유니탈 것을 염두해두자.)

정의 4.7 (벡터)

$$$F$$$ -벡터 공간 $$$V$$$의 임의의 원소 $$$\mathbf v$$$를 벡터라고 정의하자.

정의 4.8 (스칼라)

$$$F$$$ -벡터 공간 $$$V$$$가 정의되었을 때, 체 $$$F$$$의 임의의 원소 $$$a$$$는 스칼라라고 정의하자.

정의 4.9 (영벡터)

$$$\left( V, + \right)$$$의 항등원 $$$\mathbf 0$$$을 영벡터라고 정의하자.

조심해야할 것은 바로 영벡터는 일반적으로 스칼라 $$$0$$$과는 다르다는 것이다. 즉, 벡터 공간 $$$V = \mathbb R$$$인 경우를 제외하고는 일반적으로 스칼라가 원소인 $$$F$$$와 벡터가 원소인 $$$V$$$의 덧셈에 대한 항등원은 다르다.

이렇게 우리는 벡터와 스칼라를 정의하였다. 참고로, 벡터의 표기법은 볼드체, 혹은 위에 작은 화살표를 그리는 것이다. 인쇄체에서는 볼드체, 손으로 쓸 때에는 화살표를 많이 사용한다. ($$$\mathbf v \, \text {or} \, \vec v$$$)

3. 좌표계

지금까지 우리는 가군, 벡터 공간, 벡터와 스칼라를 정의하였다. 이를 바탕으로 이제 좌표 공간의 개념을 도입할 수 있고, 결국 복소 평면에 대해서 다룰 수 있게 될 것이다.

우선은 좌표계라는 것이 무엇인지 수학적으로 정의해야 한다. 어떠한 평면 위에 격자를 긋는 것만으로는 수학적이라고 부르기 힘들기 때문이다.

일단, 좌표라는 것은 (아직 정의되지 않았지만,) 일련의 숫자, 혹은 이들의 성분의 합으로 표현될 수 있다. 그리고 이러한 성분의 합은 선형 결합이 정의되어야하기 때문에, 우리는 정의 4.10를 통해서 선형 결합을 정의하도록 한다.

정의 4.10 (선형 결합)

$$$G$$$를 $$$R$$$-가군이라고 하자. 또한, $$$\left< a_n \right>$$$을 $$$G$$$의 원소들로 이뤄진 수열이라고 하자. 그렇다면 원소 $$$b \in G$$$가 아래와 같은 조건을 만족한다면 $$$b$$$가 $$$\left< a_n \right>$$$의 선형결합이라고 정의하자.

$$ \exists \left< a_n \right> \subseteq R : b = \sum^n_{k=1} \lambda_k \circ a_k$$

또한, 어떤 좌표의 위치를 가리키는 벡터는 특정 성분들의 합으로써 유일하게 표현되어야 한다. 즉, 좌표계의 기저(아직 정의되지 않았지만!)는 선형적으로 독립인 성질을 가져야한다. 다시 말해, 우리는 선형 독립을 정의하여야 한다.

정의 4.11 (선형 독립 수열)

$$$G$$$를 덧셈에 대한 항등원이 $$$e$$$인 아벨군, $$$R$$$을 곱셈에 대한 항등원이 $$$0_R$$$, 유니티는 $$$1_R$$$인 유니탈 환이라고 하자. 그리고 $$$\left( G, +_G, \circ \right)_R$$$은 유니탈 $$$R$$$-가군이라고 하자. 아래의 조건을 만족한다면 $$$\left< a_n \right>$$$이 선형 독립이라고 정의하자.

$$ \forall \left< \lambda_n \right> \subseteq R : \sum^n_{ k = 1 } \lambda_k \circ a_k = e \Rightarrow \lambda_1 = \lambda_2 = \cdots = \lambda_n = 0_R$$

선형 독립 수열을 정의했으니 이제 선형 독립인 집합도 정의하여야 한다.

정의 4.12 (선형 독립 집합)

$$$S$$$에서 택한 서로 다른 원소들로 이뤄진 모든 유한 수열들이 선형 독립 수열이라면 $$$S$$$가 선형 독립이라고 한다.

우리는 이제 어떤 선형 독립 집합의 부분집합도 선형 독립이라는 것을 정리할 것이다. (이번 포스트의 첫 번째 정리이다!)

정리 4.1 (선형 독립 부분집합)

선형 독립인 집합의 부분집합도 선형 독립이다.

[증명]

$$$G$$$를 유니탈 $$$R$$$-가군이라고 하자. $$$\left\{ a_1, a_2, \cdots, a_n \right\}$$$을 선형 독립 집합인 $$$G$$$라고 하자. 정의 4.12에 의해 $$$\left< a_n \right>$$$은 선형 독립이다. $$$\left< b_m \right>$$$을 $$$G$$$에서 택한 서로 다른 원소들로 이뤄진 수열이라 하자.

또, $$$R$$$의 원소들의 수열 $$$\left< \mu_m \right>$$$ 을 $$$\sum^m_{j = 1} \mu_j \circ b_j = e$$$을 만족한다고 하자.

그리고 각 $$$k \in \left\{ 1, 2, \cdots, n \right\}$$$에 대해,

$$ \lambda_k= \begin{cases} \mu_j & : \, j \mbox{ is the unique index s.t. } a_k = b_j \,\,\\ 0_R & \mbox{when } a_k \notin \left\{ b_1, b_2, \cdots, b_m \right\} \end{cases}$$

이라고 하자. (수식 안에는 한글 입력이 안되어서 영어로 표기하였다. 참고로 뜻은 A is the unique index such that(s.t.) B=A는 B를 만족시키는 특별한 첨자이다이다.)

그러면,

$$ e = \sum^m_{j = 1} \mu_j \circ b_j = \sum^n_{k = 1} \lambda_k \circ a_k \mbox{}$$

이다.

그런데 정의 4.11에 의해, 모든 $$$\lambda_k$$$는 $$$0_R$$$이다.

$$$\left\{ \mu_1, \mu_2, \cdots, \mu_m \right\} \subseteq \left\{ \lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n \right\}$$$이므로, 모든 $$$\mu_j$$$도 $$$0_R$$$이다. 따라서 정의 4.11에 의해 $$$\left< b_m \right>$$$도 선형 독립 수열이다.

선형 독립 수열 $$$\left< a_n \right>$$$의 일부 원소들을 골라 만든 수열 $$$\left< b_m \right>$$$도 선형 독립 수열임을 보였으니, $$$\left< a_n \right>$$$에서 어떠한 원소를 골라 새로운 수열을 만들어도 선형 독립 수열이 된다. 이에 따라 선형 독립 집합 $$$G$$$의 부분 집합 또한 선형 독립이 된다. $$$\blacksquare$$$

그리고 마지막으로 생성원generator에 대해서 정의하자. 기저 벡터와 스칼라의 곱들의 합을 통해 모든 벡터를 나타낼 수 있어야 하는데, 이에 관한 것이 바로 생성원에 관한 조건이다. 이에 앞서 부분가군의 교집합은 부분가군임을 보이자.

정리 4.2 (부분가군의 교집합)

어떤 가군의 부분가군의 교집합도 그 가군의 부분가군이다.

[증명]

가군 $$$\left( G, +_G, \circ \right)_R$$$과, 이의 부분가군들을 $$$M$$$라고 하자. ($$$G$$$의 모든 부분가군일 필요가 없다는 점에 유의하자.)

우리는 $$$\bigcap_{ M \leq G } M$$$이 $$$G$$$의 부분가군임을 보이면 된다.

일단 $$$\bigcap_{ M \leq G } M$$$은 $$$G$$$의 부분집합이므로 $$$+_G$$$에 대한 결합법칙과 교환법칙, $$$\circ$$$에 대한 좌분배법칙과 우분배법칙, 결합법칙은 성립한다.

이제 우리는 $$$\bigcap_{ M \leq G } M$$$가 $$$+_G$$$와 $$$\circ$$$에 대해 닫혀있고, $$$+_G$$$에 대한 항등원 $$$e$$$가 존재하며, $$$+_G$$$에 대한 역원이 존재함을 보이면 된다.

우선 항등원 $$$e$$$의 존재 및 $$$\bigcap_{ M \leq G } M \neq \varnothing$$$를 보이고, $$$+_G$$$에 대해 닫혀있다는 것과 역원이 존재한다는 것을 보인 후, 맨 나중에 $$$\circ$$$에 대해서도 닫혀있음을 보이겠다.

일단 $$$M$$$은 부분가군이었으므로, 모든 $$$M$$$에 대해 $$$e \in M$$$이다. 따라서 $$$e \in \bigcap_{ M \leq G } M$$$이다. 그리고 이에 따라 $$$\bigcap_{ M \leq G } M \neq \varnothing$$$이 성립된다.

어떤 $$$a, b \in \bigcap_{ M \leq G } M$$$에 대해서, $$$a, b$$$는 모든 $$$M$$$의 원소이다. $$$M$$$은 계속 강조했듯이 부분가군이므로, $$$+_G$$$에 대해서 닫혀있고, 이들의 역원에 대해서도 닫혀있다. $$$a +_G b = c$$$이고, $$$a, b$$$의 역원이 각각 $$$a^{-1}, b^{-1}$$$이라고 하면, $$$c, a^{-1}, b^{-1} \in M$$$이므로 $$$c, a^{-1}, b^{-1}\in \bigcap_{ M \leq G } M$$$이다. 따라서 $$$\bigcap_{ M \leq G } M$$$은 $$$+_G$$$와 역원에 대해 닫혀있다.

마찬가지로 $$$\circ$$$에 대해서도 닫혀있다는 것을 동일하게 보이면 된다. $$$\lambda \in R$$$과 $$$a \in \bigcap_{ M \leq G } M$$$에 대해, $$$a \in M$$$이므로 $$$\lambda \circ a \in M$$$이고, 따라서 $$$\lambda \circ a \in \bigcap_{ M \leq G } M$$$이다.

따라서 $$$\bigcap_{ M \leq G } M$$$도 $$$G$$$의 부분가군이다.

$$$\blacksquare$$$

정의 4.13 (가군의 생성원)

$$$\left( G, +_G, \circ \right)_R$$$를 $$$R$$$-가군이라고 하고, $$$S \subseteq G$$$이라고 하자. 또, $$$\left< S \right>$$$는 $$$S$$$를 부분집합으로 가지는 최소의 $$$G$$$의 부분가군이라고 하자. 다시 말해, 아래의 조건을 만족한다고 하자. ($$$M$$$은 $$$G$$$의 부분가군이며, 마찬가지로 아래의 집합도 정리 4.2에 의해 부분가군이다.)

$$ \left< S \right> = \bigcap_{S \subseteq M \leq G} M$$

이 때, $$$S$$$를 부분가군 $$$\left< S \right>$$$의 생성원이라고 정의하자.

이러한 생성원이 도대체 좌표계와 무슨 상관이 있는지는 정리 4.3를 통해 알아볼 것이다.

정리 4.3

$$$\left( G, +_G, \circ \right)_R$$$를 유니탈 $$$R$$$-가군이라고 하고, $$$S \subseteq G$$$이라고 하자. 그렇다면, $$$\left< S \right>$$$는, $$$a_1, \cdots, a_n \in S$$$이고, $$$\lambda_1, \cdots, \lambda_n \in R$$$일 때 $$$\sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i$$$ 꼴을 모두 가지며, 이외의 원소는 가지지 않는다.

여기서 유의해야할 것은 정의 4.13에서 $$$G$$$는 유니탈 가군이 아니었지만, 정리 4.3에서는 유니탈 가군이라는 조건이 붙었다.

[증명]

이 증명에서 모든 가군은 유니탈하다는 것을 염두해두자.

아래와 같이 정의하자.

$$ T = \left\{ x : x = \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i, \,\, a_1, \cdots, a_n \in S, \,\, \lambda_1, \cdots, \lambda_n \in R \right\}$$

우리는 $$$T \subseteq \left< S \right>$$$이면서 $$$T \supseteq \left< S \right>$$$이면 $$$T = \left< S \right>$$$이라는 사실을 이용할 것이다.

우선, $$$T \subseteq \left< S \right>$$$을 보이자.

$$$T$$$의 임의의 원소 $$$x$$$를 잡으면, $$$x = \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i$$$인 $$$ a_1, \cdots, a_n \in S$$$와 $$$\lambda_1, \cdots, \lambda_n \in R$$$이 존재한다. 즉,

$$ \forall x \in T : \exists a_1, \cdots, a_n \in S : \exists \lambda_1, \cdots, \lambda_n \in R : x = \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i$$

이다. 그런데, 정의 4.13에서 $$$S \subseteq M$$$이었으므로, $$$ a_1, \cdots, a_n \in M$$$이다. $$$M$$$은 부분가군이므로, 각 $$$\lambda_i \circ a_i$$$도 $$$M$$$의 원소이며, $$$+_G$$$에 대해 닫혀있으므로 $$$\sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i \in M$$$이다. 결국 $$$T \subseteq M$$$이다. 즉, $$$T \subseteq \bigcap_{S \subseteq M \leq G} M = \left< S \right>$$$이다.

이제 $$$T \supseteq \left< S \right>$$$을 보이자. 이를 위해서는 $$$T$$$가 $$$S$$$를 포함하는 $$$G$$$의 부분가군임을 보이면 된다. 왜냐하면, 이런 경우 $$$T$$$는 여러 $$$M$$$ 중에 하나가 될 것이므로 자동적으로 $$$T \supseteq \bigcap_{S \subseteq M \leq G} M = \left< S \right>$$$이 되기 때문이다.

일단 $$$T$$$가 $$$G$$$의 부분가군임을 보이자.

$$$G$$$는 가군이며 $$$S \subseteq G$$$이기 때문에, $$$a_1, \cdots, a_n \in S$$$와 $$$\lambda_1, \cdots, \lambda_n \in R$$$에서 $$$\sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i \in G$$$이다. 즉,

$$ \forall a_1, \cdots, a_n \in S : \forall \lambda_1, \cdots, \lambda_n \in R : \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i \in G$$

이다. 따라서 $$$T \subseteq G$$$이다.

그리고 $$$T \neq \varnothing$$$이 자명한 것이, 바로 $$$n = 0$$$일 때의 원소, 즉 가수(더해지는 수summand)가 없을 경우를 $$$e$$$로 하기로 하였기 때문이다.

$$$T \subseteq G$$$이며 $$$T \neq \varnothing$$$이라는 사실로부터 $$$T$$$에서도 $$$+_G$$$와 $$$\circ$$$, 역원이 정의될 수 있다. (닫혀있는지는 몰라도 말이다.) 또한, 이들 연산에 관한 법칙, 즉 공리 4.1.1, 4.1.2, 4.1.3와 정의 3.5를 만족시킨다. 이제 우리는 $$$T$$$가 각 연산과 역원에 대해 닫혀있다는 것만 하면 된다.

일단 $$$T = \left\{ x : x = \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i, \,\, a_1, \cdots, a_n \in S, \,\, \lambda_1, \cdots, \lambda_n \in R \right\}$$$라는 정의와 $$$-1_R \in R$$$을 통해 $$$x = \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i \in T \Rightarrow \left( -1_R \right) \circ x = \left( -1_R \right) \circ \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i = \sum_{i = 1}^n \left(-\lambda \right)_i \circ a_i = -x \in T$$$이고, 따라서 역원에 대해 닫혀있음을 알 수 있다.

또한, $$$\circ$$$에 대해 닫혀있는 것은 자명하다. $$$\sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i$$$에서 앞에 새로운 $$$\lambda \in R$$$에 대해 $$$\circ$$$를 취하면 좌분배법칙(공리 4.1.1)에 의해 다시 $$$T$$$의 조건에 만족되기 때문이다.

이제 $$$+_G$$$에 대해서도 닫혀있다는 것을 보이자. $$$x, y \in T$$$이면, $$$\lambda_i, \eta_j$$$가 $$$R$$$의 원소이며, $$$a_i, b_j$$$가 $$$S$$$의 원소인 $$$x = \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i$$$와 $$$y = \sum_{j = 1}^m \eta_j \circ b_j$$$로 나타내어진다. 이 둘의 합은 $$$z = \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i + \sum_{j = 1}^m \eta_j \circ b_j$$$이다. 아래와 같은 수열을 정의하자.

$$ \mu_k = \begin{cases} \lambda_k & : 1 \leq k \leq n \\ \eta_{n + m - k + 1} & : n < k \leq n + m \end{cases} \\ c_k = \begin{cases} a_k & : 1 \leq k \leq n \\ b_{n + m - k + 1} & : n < k \leq n + m \end{cases}$$

그렇다면 $$$z = \sum_{k = 1}^{n + m} \mu_k \circ c_k$$$이므로 $$$z \in T$$$가 된다. 따라서 $$$T$$$는 $$$G$$$의 부분군이다.

마지막으로 $$$S \subseteq T$$$를 보이면 된다. 임의의 원소 $$$s \in S$$$를 잡자. $$$T = \left\{ x : x = \sum_{i = 1}^n \lambda_i \circ a_i, \,\, a_1, \cdots, a_n \in S, \,\, \lambda_1, \cdots, \lambda_n \in R \right\}$$$에서 $$$n = 1$$$, $$$\lambda_1 = 1_R$$$, $$$a_1 = s$$$라고 하면, $$$s = \lambda_1 \circ a_1 \in T$$$가 되어 임의의 $$$S$$$의 원소는 $$$T$$$의 원소도 된다. 다시 말해, $$$S \subseteq T$$$이다.

결국 $$$\left< S \right> = \bigcap_{S \subseteq M \leq G} M = T \cap \bigcap_{S \subseteq M \leq G} M \subseteq T$$$인데, 위에서 $$$T \subseteq \left< S \right>$$$이었으므로 $$$T = \left< S \right>$$$이다.

$$$\blacksquare$$$

정의 4.13과 정리 4.3의 의의는 바로 유니탈 $$$R$$$-가군 $$$G$$$의 부분집합 $$$S$$$의 생성원 $$$\left< S \right>$$$는 $$$S$$$의 원소들의 가능한 모든 선형 결합(만약 연산들을 알맞게 정의한다면)들을 원소로 가진다는 것이다! ~~드디어 뭔가 좌표계스러운 느낌이 난다!~~

정의 4.14 (기저)

$$$\left( G, +_G, \circ \right)_R$$$을 유니탈 $$$R$$$-가군이라고 하자. $$$G$$$의 선형 독립 부분집합(정의 4.12 및 정리 4.1)이면서 생성원(정의 4.13)인 집합을 $$$G$$$의 기저라고 정의한다.

정의 4.15 (자유 가군)

기저(정의 4.14)가 정의되어 있는 유니탈 $$$R$$$-가군 $$$G$$$을 자유 가군이라고 정의한다.

아직은 우리가 원하는 기저가 정의되지 않았다. 기저에 순서의 개념이 도입되지 않았기 때문이다.

정의 4.16 (순서기저)

$$$G$$$를 자유 유니탈 $$$R$$$-가군이라고 하자. $$$\left\{ a_1, \cdots, a_n \right\}$$$이 $$$G$$$의 기저일 때, 수열 $$$\left< a_k \right>_{1 \leq k \leq n}$$$을 $$$G$$$의 순서기저라고 정의한다.

드디어 기다리고 기다리던 좌표계의 정의를 내릴 수 있게 되었다.

정의 4.17 (좌표계와 좌표)

자유 유니탈 $$$R$$$-가군 $$$G$$$의 순서기저 $$$\left< a_k \right>_{1 \leq k \leq n}$$$을 $$$G$$$의 좌표계라고 정의한다. 또한, $$$x \in G$$$가 $$$\sum_{k = 1}^n \lambda_k \circ a_k$$$로 표현될 때, 스칼라 $$$\lambda_k$$$를 $$$\left< a_k \right>$$$에 대한 $$$x$$$의 좌표라고 정의한다.

좌표계가 정의되었으니 이제 원점을 정의해야겠다.

정의 4.18 (가군의 영벡터)

$$$R$$$ -가군 $$$\left( G, +_G, \circ \right)_R$$$에서 $$$+_G$$$에 대한 항등원 $$$e$$$를 영벡터 $$$\mathbf 0$$$라고 정의한다.

정의 4.19 (원점)

좌표계의 원점은 영벡터이다.

복소평면을 정의하기 위한 밑바탕은 거의 다 마쳤다. 아마 다음 포스트는 짧을 수도 있다. 물론, 우리는 평면을 정의하려들지 않을 것이다. 비록 엄밀함을 추구하기는 하지만, 평면을 정의하기 위해서는 타르스키의 기하학에 대한 공리 23개를 알아보고, 이를 또 알아보기 위해서는…이렇게 물고 늘어지다가 나중에는 논리와 형식적 언어라는 개념까지 정의해야 하므로, 적정한 선에서 끊기로 한다.

이번 포스트도 상당히 깊게 파고들었지만, 이정도가 한계인 것 같다. 나머지는 수학자들에게 맡겨놓자!

하지만, 이 [복소해석학] 시리즈는 왜? 어떻게? 정말? 과 같은 의문을 거의 다 해소하고, 순환 논증을 없애는 것이 목적이기 때문에, 지금과 같이 어느 정도의 엄밀성은 추구할 것이다. ~~읽는 사람은 없지만ㅠ~~

[복소해석학] 3. 대수적 구조에 관한 공리

Zeta611 — Thu, 20 Nov 2014 00:12:39 +0900

복소해석학

3. 대수적 구조에 관한 공리

개요: 지난번 포스트에서는 복소 함수의 극한과 엡실론-델타 논법에 대해서 알아보고, 특히 이를 토대로 복소 함수의 미분에 대해서 간단히 살펴보았다. 이번 포스트에서는 복소 평면, 코시-리만 방정식Cauchy-Riemann equation과 여러가지 복소 함수의 예를 살펴보기로 하였으나, 아무래도 한 번에 여러 주제를 다루는 것은 무리인 것 같아 벡터 공간과 복소 평면에 대해 다루기 위한 전단계로, 대수적 구조, 특히 군, 환, 체, 아벨군 등과 같은 대수적 구조에 관해서 자세히 알아보기로 한다. 특히, 이들의 공리에 대해 알아본다.

경고: 예상과는 달리 복소해석학을 다루기 위한 전단계가 굉장히 길어지고 있고, 앞으로도 굉장히 긴 작업이 필요할 것 같다. 또한, 이 글의 주제에서 알 수 있듯이, 이 글이 해석학 분류에 들어가는 것은 잘못된 분류이지만, [복소해석학] 시리즈의 한 부분이기 때문에 해석학 분류에 넣었다. 아무래도 한 시리즈가 여러 항목에 산발적으로 흩어져있는 것은 좋지 못한 일이라고 판단했기 때문이다.

여러 대수적 구조를 군 관련, 환 관련, 체 관련, 이렇게 세 가지 종류로 나누어 소개할 것이다. 우리는 간단하고 적은 조건만을 만족시켜도 되는 대수적 구조에서부터, 체를 정의하기 위해 차례차례 새로운 대수적 구조를 소개할 것이다. 이 포스트에 나오는 많은 대수적 구조가 이어지는 포스트에 등장할 수 있을 것이다.

일단 대수적 구조algebraic structure가 무엇인지 정의하자. (집합과 연산에 관해서도 정의를 하기에는 무리인 것 같다.)

정의 3.1 (대수적 구조)

어떤 집합 $$$S$$$와 하나 이상의 이항 연산자 $$$\circ_1, \cdots, \circ_n$$$가 $$$S \times S$$$의 모든 원소에 대해서 정의되었을 때, 이러한 집합 $$$S$$$를 대수적 구조라고 정의하고, $$$\left( S, \circ_1, \cdots, \circ_n \right)$$$로 표기한다.

1. 군 관련

우리는 가장 간단한 대수적 구조라고도 볼 수 있는, 어떤 연산 $$$\circ$$$와 이에 대해 닫혀있는 집합 $$$S$$$만으로 이뤄진 대수적 구조인 마그마magma를 정의하자. (물론 방금 다 말해버렸지만!)

여담이지만, 마그마라는 말은 프랑스말로 마구 섞어놓은이라는 뜻으로도 쓰이는데, 이 의미에서 마그마라는 이름을 붙인 것이라고 한다.

정의 3.2 (마그마)

$$$S$$$가 $$$\circ$$$에 대해 닫혀있는 대수적 구조 $$$\left( S, \circ \right)$$$를 마그마라고 정의한다. 즉, 아래와 같은 공리를 만족시킨다는 것이다.

공리 3.2.1

$$ \forall a, b \in S : a \circ b \in S$$

다음은 반군semigroup의 정의이다.

정의 3.3 (반군)

$$$\left( S, \circ \right)$$$를 마그마라고 하자. 만약 $$$S$$$에서 $$$\circ$$$이 결합법칙을 만족시킨다면 이 마그마를 반군이라고 정의하자. 즉, 아래의 공리를 만족시키면 된다.

공리 3.3.1

$$ \forall a, b \in S : a \circ b \in S$$

공리 3.3.2

$$ \forall a, b, c \in S : a \circ \left( b \circ c \right) = \left( a \circ b \right) \circ c$$

정의 3.4 (군)

어떤 반군$$$\left( G, \circ \right)$$$이 항등원을 가지고 있고, 모든 원소에 대한 역원이 존재하면, 이러한 반군을 군이라고 정의하자. 다시말해, 아래의 공리를 만족하면 군이라고 한다.

공리 3.4.1

$$ \forall a, b \in G : a \circ b \in G$$

공리 3.4.2

$$ \forall a, b, c \in G : a \circ \left( b \circ c \right) = \left( a \circ b \right) \circ c$$

공리 3.4.3

$$ \exists e \in G : \forall a \in G : e \circ a = a = a \circ e$$

공리 3.4.4

$$ \forall a \in G : \exists b \in G : a \circ b = e = b \circ a$$

이제 아벨군abelian group에 대해 알아볼 것이다.

여담이지만, 아벨군에서의 abelian은 비록 수학자 아벨의 이름을 따서 붙인 것이지만 맨 앞의 a를 대문자로 쓰지 않는것이 관습이다. 이는 수학에서 그의 이름이 굉장히 많이 사용된다는 것을 보여주는 단적이 예이다.

정의 3.5 (아벨군)

군 $$$\left( G, \circ \right)$$$에서 $$$\circ$$$에 대해 교환법칙이 성립한다면 군 $$$G$$$를 아벨군이라고 정의하자. 즉, 아래의 공리를 만족시킨다면 아벨군이라고 정의한다.

공리 3.5.1

$$ \forall a, b \in G : a \circ b \in G$$

정의 3.5.2

$$ \forall a, b, c \in G : x \circ \left( b \circ c \right) = \left( a \circ b \right) \circ c$$

공리 3.5.3

$$ \exists e \in G : \forall a \in G : e \circ a = a = a \circ e$$

공리 3.5.4

$$ \forall a \in G : \exists b \in G : a \circ b = e = b \circ a$$

공리 3.5.5

$$ \forall a, b \in G : a \circ b = b \circ a$$

2. 환 관련

지금까지 봤듯이, 점점 더 구체적인 대수적 구조로 파고들수록 공리의 수는 많아진다. 하지만, 많아지는 이유는 단순히 이전 단계의 구조의 공리에 새로운 제약을 가해지는 방식으로 공리가 붙기 때문인 것에 불과하다.

우선 첫번째로 소개할 환 관련 대수적 구조는 바로 ringoid이다. 마땅한 번역이 없는데, -oid라는 의미는 -꼴이라는 뜻이므로 직역하면 환꼴 정도 될 것이다. 하지만 그냥 링오이드라고 쓰기로 한다.

정의 3.6 (링오이드)

집합 $$$S$$$와 여기에서 정의된 두 이항 연산자 $$$\circ$$$와 $$$\ast$$$를 잡자. 그리고 이 두 연산이 $$$S \times S$$$의 모든 원소에서 정의되어있고, $$$\circ$$$의 $$$\ast$$$에 대한 분배법칙이 성립한다면 $$$\left( S, \ast, \circ \right)$$$를 링오이드라고 정의하자. 즉, 아래의 공리를 만족하면 링오이드이다.

공리 3.6.1

$$ \forall a, b, c \in S : a \circ \left( b \ast c \right) = \left( a \circ b \right) \ast \left( a \circ c \right), \,\, \left( a \ast b \right) \circ c = \left( a \circ c \right) \ast \left( b \circ c \right)$$

이제 반환semiring에 대해 알아보자.

정의 3.7 (반환)

만약 링오이드 $$$\left( S, \ast, \circ \right)$$$에서 *$$$\left( S, \ast \right)$$$와 $$$\left( S, \circ \right)$$$가 각각 반군을 형성한다면 링오이드 $$$\left( S, \ast, \circ \right)$$$는 반환이라고 정의한다. 즉, 아래와 같은 공리를 만족한다면 반환이라고 정의한다.**

공리 3.7.1

$$ \forall a, b \in S : a \ast b \in S$$

공리 3.7.2

$$ \forall a, b, c \in S : \left(a \ast b \right) \ast c = a \ast \left( b \ast c \right)$$

공리 3.7.3

$$ \forall a, b \in S : a \circ b \in S$$

공리 3.7.4

$$ \forall a, b \in S : \left( a \circ b \right) \circ c = a \circ \left( b \circ c \right)$$

공리 3.7.5

이제 환ring에 대해서 알아보자.

정의 3.8 (환)

반환 $$$\left( R, \ast, \circ \right)$$$에서 $$$\left( R, \ast \right)$$$이 아벨군이면 $$$R$$$은 환이라고 정의한다. 즉, 아래의 공리를 만족시키면 환이라고 정의한다.

공리 3.8.1

$$ \forall a, b \in R : a \ast b \in R$$

공리 3.8.2

$$ \forall a, b, c \in R : \left( a \ast b \right) \ast c = a \ast \left( b \ast c \right)$$

공리 3.8.3

$$ \forall a, b \in R : a \ast b = b \ast a$$

공리 3.8.4

$$ \exists 0_R \in R : \forall a \in R : a \ast 0_R = a = 0_r \ast a$$

공리 3.8.5

$$ \forall a \in R : \exists a' \in R : a \ast a' = 0_r = a' \ast a$$

공리 3.8.6

$$ \forall a, b \in R : a \circ b \in R$$

공리 3.8.7

$$ \forall a, b, c \in R : \left( a \circ b \right) \circ c = a \circ \left( b \circ c \right)$$

공리 3.8.8

$$ \forall a, b, c \in R : a \circ \left( b \ast c \right) = \left( a \circ b \right) \ast \left( a \circ c \right), \,\, \left( a \ast b \right) \circ c = \left( a \circ c \right) \ast \left( b \circ c \right)$$

이번에는 특수한 경우인 자명환trivial ring(zero ring, null ring)의 정의를 알아보자.

정의 3.9 (자명환)

원소가 하나만 있는 환을 자명환이라고 정의한다. 즉, 그 원소는 $$$0_R$$$이라고 할 수 있다. 그리고 $$$\left( \left\{ 0_R \right\}, +, \circ \right)$$$에서 정의된 $$$+$$$와 $$$\circ$$$는 각각 $$$0_R + 0_R \ 0_R, 0_R \circ 0_R = 0_R$$$을 만족한다.

이제 유니탈 환unital ring 및 유니티unity가 무엇인지 알아보자.

정의 3.10 (유니탈 환 및 유니티)

비자명환 $$$\left( R, +, \circ \right)$$$에서 만약 반군 $$$\left( R, \circ \right)$$$이 항등원을 가지고 있다면 $$$R$$$은 유니탈 환이라고 정의한다. 이때, $$$\left( R, \circ \right)$$$의 항등원 $$$1_R$$$을 유니탈 환 $$$R$$$의 유니티라고 정의한다.

3. 체 관련

이번에는 나눗셈환에 대해서 설명한다. 나눗셈환은 체의 성격이 짙기 때문에 체 관련 항목에 넣었다.

정의 3.11 (나눗셈환)

유니탈 환 $$$\left( R, +, \circ \right)$$$에 대해서 모든 $$$0_R$$$ 아닌 원소의 역원이, $$$0_R$$$이 아닌 특정 원소로 유일하다면 $$$R$$$은 나눗셈환이다. 다시 말해, 아래의 조건을 만족하면 나눗셈환이다.

$$ \forall a \in R \backslash \left\{ 0 \right\} : \exists ! a^{-1} \in R \backslash \left\{ 0 \right\} : a \circ a^{-1} = 1_R = a^{-1} \circ a$$

드디어 체의 정의이다! (이미 첫번째 포스트에서 사용했지만, 뒤늦게 정의하는군요…)

정의 3.12 (체)

비자명 나눗셈환 $$$\left( F, +, \times \right)$$$에서 환 곱 $$$\times$$$이 교환법칙을 만족한다면 체라고 정의하자. 즉, 아래의 공리를 만족하면 체라고 정의하자.

공리 3.12.1

$$ \forall a, b \in F : a + b \in F$$

공리 3.12.2

$$ \forall a, b, c \in F : \left( a + b \right) + c = a + \left( b + c \right)$$

공리 3.12.3

$$ \forall a, b \in F : a + b = b + a$$

공리 3.12.4

$$ \exists 0_F \in F : \forall a \in F : a + 0_F = a = 0_F + a$$

공리 3.12.5

$$ \forall a \in F : \exists a' \in F : a + a' = 0_F = a' + a$$

공리 3.12.6

$$ \forall a, b \in F : a \times b \in F$$

공리 3.12.7

$$ \forall a, b, c \in F : \left( a \times b \right) \times c = a \times \left( b \times c \right)$$

공리 3.12.8

$$ \forall a, b \in F : a \times b = b \times a$$

공리 3.12.9

$$ \exists 1_F \in F, 1_F \neq 0_F : \forall a \in F : a \times 1_F = a = 1_F \times a$$

공리 3.12.10

$$ \forall a \in F \backslash \left\{ 0 \right\} : \exists a^{-1} \in F \backslash \left\{ 0 \right\} : a \circ a^{-1} = 1_F = a^{-1} \times a$$

공리 3.12.11

$$ \forall a, b, c \in F : a \times \left( b + c \right) = \left( a \times b \right) + \left( a \times c \right)$$

지금 이렇게 다 쓰고 보니 그냥 공리 모음집이 된 것 같기도 하다. 하지만 다음 포스트를 위해 필요한 내용이고, 사실 목적은 복소해석학인 만큼 최소한으로 설명하였다.

다음 포스트에서는 가군이라는 대수적 구조에 대해서 따로 설명하고, 이후 벡터 공간과 좌표계에 대해서 알아볼 것이다.

[복소해석학] 2. 복소 함수의 극한과 엡실론-델타 논법 (ε-δ 논법)

Zeta611 — Wed, 29 Oct 2014 01:24:20 +0900

[복소해석학] 시리즈의 구성: 본편은 개념 및 증명 위주, 부록편은 본편에 대한 간단한 되짚기와 예시, 그리고 informal한 내용을 다룰 것이다.

개요: 복소 함수에서의 극한에 대해 알아본다. 엡실론-델타 논법에 대한 이해를 목적으로 하는 포스트라고도 볼 수 있다. 그리고 이번 포스트에서는 정리가 등장하지 않기에 증명도 없을 것이다! 오직 개념을 설명하기 위해 포스팅을 하였다. 또한, 복소 함수에서의 미분도 간단히 소개해보았다.

경고: 아래의 엡실론-델타 논법을 이해하기 위해서는 적어도 극한(궁극의 한계...!)이 무엇인지는 들어봤어야 한다.

-목차-

1. 복소 함수의 정의

2. 복소 함수에서의 엡실론-델타 논법 (ε-δ 논법)

3. 복소 함수에서의 미분에 대한 간단한 개요

1. 복소 함수의 정의

지난번 포스팅에서는 복소수에 대해서 엄밀하게 정의해보았다.

특히, 우리는 복소수 집합이 체라는 사실을 알게 되었으며, 관련된 여러 기본 정리들을 살펴보았다.

이번에는 복소수를 변수로 가지는 함수에 대해서 정의해보자.

(사상, 함수와 같이 너무 기초적인 것은 따로 정의하지 않겠다.)

정의 2.1 (복소 함수의 정의)

정의역과 공역이 각각 아래와 같을 때,

아래와 같은 함수 f를 복소 함수라고 한다.

즉, 독립변수와 종속변수가 복소수인 함수가 바로 복소 함수인 것이다.

2. 복소 함수에서의 엡실론-델타 논법 (ε-δ 논법)

극한이 무엇인지는 대략적으로 알 것이라 생각한다.

아래의 정의 2.2가 바로 극한의 엄밀한 정의이다.

정의 2.2 (복소 함수의 극한_엡실론-델타 논법)

어떤 복소 함수 f(z)에 대해서,

일 때, L의 값을 z→c에서의 함수 f(z)의 극한값이라고 하며, 아래와 같이 표기한다.

이게 무슨 말인지 차근차근 알아보자.

우선 저 술어논리식을 일상어로 표현해보자면,

L이 z→c에서의 f(z)의 극한값이라는 것은 대략 아래와 같다.

"임의의 양의 실수 ε에 대해, 적당한 양의 실수 δ가 존재하여, 모든 z에 대해,

z와 c의 차이가 0과 δ의 사이라면, f(z)와 L의 차이가 ε 미만이 된다."

여전히 미궁 속

그럼,

"모든 z에 대해, z와 c의 차이가 0과 δ의 사이라면"

의 부분을 뜯어보자.

이 부분은 우리가 원래 알던 극한의 뜻에서, z가 c에 한없이 다가간다는 부분에 해당한다.

참고로, 차이가 0보다 크다는 것은 z가 곧 c라는 것이 아니라는 것을 말해주는 부분이다.

아직 감이 안잡히겠지만, 뒷부분도 한번 보자.

"f(z)와 L의 차이가 ε 미만이 된다."

음.. 함숫값도 어떤 값 L에 다가간다는 부분이다.

대충 합쳐보면, "z가 c에 한없이 다가가면 f(z)도 L에 다가간다."가 된다.

이제 맨 앞,

"임의의 양의 실수 ε에 대해, 적당한 양의 실수 δ가 존재하여,"

를 보자.

어떤 양의 실수(ε)를 정하든지 간에, 적당한 양의 실수 δ가 존재한다!

음.. 따로 해석하면 원래 문장과 다를 것이 없으니, 이 부분은 뒷부분과 같이 생각해보자.

"z와 c의 차이가 적당히 작으면(δ), 그 함숫값 f(z)와 L의 차도 임의로 작아질 수 있다(ε)."

즉, z와 c의 차이 δ를 우리가 정해서 f(z)와 L의 차이가 원하는 만큼(ε만큼) 작게할 수 있다는 것이다!

이 정도면 충분하다고 생각하지만, 그래도 혹시 모르니깐 마지막으로 한 번 더 풀어 설명해본다. ^^

"L이 z→c에서의 f(z)의 극한값이라는 것 =

ε>0을 얼만큼 작게 만들지 간에, 우리는 항상 δ>0를 잡을 수 있어서,

c에 매우 가까운 z (그 차이는 δ)에 대해서

f(z)와 L의 차이가 ε보다 작게 만들 수 있다는 것"

그래도 이해를 못하겠으면 댓글을 남겨주세요.

3. 복소 함수에서의 미분에 대한 간단한 개요

이제 복소 함수의 극한을 알았으니 미분을 알아보자.

정의 2.3 (점에서의 복소 미분 가능성)

열린 집합 D를 정의역으로 가지는 복소 함수 f가 어떤 점 z_0에서 미분가능하다는 것, 즉

일 때 에서 미분가능하다는 것은, 다음의 극한값 (정의 2.2 이용)

이 증분 h가 0에 어떻게 다가가는지에 상관 없이 유한한 수로 정해져있다는 것과 필요충분조건이다.

정의 2.4 (영역에서의 복소 미분 가능성)

복소 함수 f가 아래와 같은 열린 집합 D에서 복소 미분 가능하다는 것은,

모든에 대해 미분가능하다는 것과 필요충분조건이다. (정의 2.3 이용)

정의 2.5 (복소 함수의 미분계수)

복소 함수 f가 에서 미분 가능할 때, (정의 2.3 이용)

(정의 2.2 이용)

을 f의 z_0에서의 미분계수라고 하며, 아래와 같이 다양한 방법으로 표기할 수 있다.

정의 2.6 (복소 함수의 도함수)

복소 함수 f가 열린 집합 D에서 미분 가능 할 때, (정의 2.4 이용) 아래와 같은 함수를 f의 도함수라고 정의하자.

그리고 그 함숫값은 에서 f'(z)이며, (정의 2.5 이용) 아래와 같이 다양한 방법으로 표기할 수 있다.

보면 알겠지만, 이상의 정의 2.3에서 2.6은 실변수 미분일 때랑 완전히 그 정의가 동등하다.

단지 변수가 복소수로 확장되었다는 것뿐이다.

하지만, 그 본질에는 굉장히 큰 차이가 있다...

이 부분은 다음 포스트에 복소평면을 소개하면서, 코시-리만 방정식과 함께 다룰 예정이다!

(아직 삼각함수를 정의하지 않아서 극좌표에 대한 소개는 곤란하다..)

다음 포스트는 지금 언급했듯이 복소평면, 코시-리만 방정식과 더불어

(드디어) 삼각함수와 지수함수, 로그함수를 정의하도록 할 예정이다.

[복소해석학] 1-부록. 복소수에 대한 설명

Zeta611 — Wed, 29 Oct 2014 01:23:03 +0900

오늘은 엄밀함을 논하지 않고 복소수에 대해서 이야기하려고 한다.

아무래도 지난 1. 복소수의 정의 및 기본 성질(링크)을 이해하지 못하겠다는 분들이 계셔서, 지난번 포스트를 해석하고,

고등학교 정규 교육과정에서 다루는 복소수의 여러 성질에 대해서 알아보도록 한다.

[지난 포스트 정리]

지난번 포스트에서 복소수는 두 실수의 순서쌍으로 나타내었다.

첫번째 성분은 실수부, 두번째 성분은 허수부가 될 것이다. (정의 1.1)

그리고 새로운 수를 정의했으니, 그 수의 연산을 정의하는 것이 자연스러울 것이다.

그래서 덧셈과 곱셈을 정의 1.2, 1.3을 통해 정의했다.

그렇다면 복소수에서의 덧셈과 곱셈도 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙이 성립할까?

이 의문을 해소할 정리는 바로 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5였다.

증명은 단순한 식정리에 불과하다 (아 물론 식 정리 과정에서는 증명되지 않은 내용을 사용할 수 없다.)

정리 1.6에서는 실수 집합이 복소수 집합에 포함되며, 따라서 정의 1.4처럼 실수 a = (a,0)으로 나타내어도 된다는 것을 알았다.

정리 1.7에서는 정리 1.1~1.5에서 미처 소개하지 못한 항등원을 소개하였다.

왠지 i를 0과 1에 대해 설명한 바로 다음에 설명하는 것이 좋을 것 같았기 때문이다.

i를 정의 1.5와 정리 1.8(i의 제곱은 -1!(팩토리얼이 아니다))을 통해 소개한 후,

a+bi 꼴, 즉 표준 표기법을 소개하였다. (정리 1.9)

"4. 복소수 집합은 가환환이다!"는 결국 복소수가 체임을 증명하기 위한 일종의 렘마였다.

그래서 이부분에서는 덧셈에 대한 역원이 존재함을 보였다.

그리고 이 섹션에서 복소수 상등을 증명했는데, 사실 노파심이었다.

다음 섹션이 지난 포스트의 대미를 완성하는! ㅎㅎ 부분이었다.

바로 복소수 집합은 체이다라는 것을 증명하는 부분이었다.

이를 증명하기 위해서는 곱셈의 역원이 존재함을 보여야했으며 (물론 0제외),

이것을 위해 우리는 정의 1.6을 통해 복소켤레를 정의했다.

정리 1.13에서 정리 1.19까지는 고등학교 내용에서 다루는 그런 복소켤레의 성질들을 엄밀하게 증명한 것이다.

결국 하고 싶은 말은 정리 1.20이었다. 곱셈에 대한 역원의 존재성.

이를 통해 정리 1.21, 복소수 집합은 체이라는 것을 밝혔다.

즉, 지난 포스트를 통해 우리가 건진 것은 바로, "체의 온갖 성질은 이제 복소수 집합에도 적용된다"라는 것이다.

이상 지난 포스트에 대한 설명이었다..

그렇다면 우리는 이제 복소수에 대한 informal(음.. 비공식적..? 즉 엄밀하지 않은)한 이야기를 해보도록 한다.

i는 바로 허수단위이며, 제곱해서 -1이 되는 수이다.

즉, i^2 = -1이다.

그리고 만약 a>0이면, 이다. (정의)

이런 수를 도입한 이유는 바로 이차방정식, 혹은 고차방정식의 해를 구하는 과정에서 근호 안에 음수가 들어가는 문제가 발생하였기 때문이다. (혹은 그 해가 복소수였거나)

예를 들어보자.

x^2 = -1

이 방정식의 해는 실수 집합에서는 존재하지 않는다.

하지만 삼차방정식의 근을 구하는 과정에서 수학자들은 놀라운 사실을 발견한다.

바로 근의 공식에 i가 등장한다는 것이다.

비록 삼차방정식의 해 세 개가 전부 실수라고 할 지라도, 근의 공식에는 i가 등장한다는 것이다.

음.. 이야기가 좀 새는 듯 하지만, 아래의 식이 바로 삼차방정식의 근의 공식이다.

의 해는 바로

출처: 수학노트

...흠...(사실 x_2, x_3는 x_1과 재미있는 관계가 있지만 그건 나중으로 미뤄두자.)

그리고 시간이 흘러 점차 수학자들은 우리가 현재 복소수라고 부르는 수도 수로 인정하게 된다.

복소수의 연산에 관해서는 덧셈 뺄셈은 문제될 것이 없다.

문자식 계산과 같기 때문이다.

예를 들어, 으로,

실수는 실수부끼리, 허수는 허수부끼리 연산하면 된다.

복소수의 곱셈은 분배법칙을 사용해, i^2=-1이라는 사실을 적극 활용한다.

이런 식으로 말이다.

나눗셈은 조금 더 복잡하다. 분수 무리식 계산에서 분모의 유리화와 같은 이치이다.

분모에 허수가 나오면 조금 그러니깐 표준 표기법으로 바꿔준다.

이를 위해서는 분모 분자에 분모의 켤레를 곱해주면 된다.

음.. 이정도면 복소수가 나오는 기본적인 문제들은 대부분 풀 수 있을 것이다. ^^

그런데 쓰고 보니 이거 그냥 복소수 계산에 관한 포스팅이다.

[복소해석학] 1. 복소수의 정의 및 기본 성질

Zeta611 — Wed, 29 Oct 2014 01:22:21 +0900

[복소해석학] 시리즈의 목표: 이 시리즈 - [복소해석학] - 의 궁극적인 목표는 전에 말했듯이 오일러 공식에 대한 증명을 거쳐, 복소 해석학의 몇몇 기초적인 정리를 엄밀하게 증명하는 것이다.

개요: 이번 포스트에서는 복소수complex numbers 체계를 엄밀하게 정의하는 것을 목표로 하며, 결론적으로는 복소수가 체field임을 보이고, 우리가 잘 아는 복소수의 몇몇 성질들을 증명할 것이다.

경고: 복소수에 대한 기본적인 지식과 연산의 기본 성질들, 그리고 환ring과 체field에 대해서 간단히 알고 있어야 이 글을 즐겁게 읽을 수 있다.

-목차-

1. 복소수 집합 C의 정의

2. 복소수에서의 덧셈과 곱셈

3. i는 -1의 제곱근?

4. 복소수 집합은 가환환이다!

5. 복소수 집합은 체이다!

1. 복소수 집합 C의 정의

이번 포스트에서는 "i는 -1의 제곱근이다"라는 정의에서부터 복소수를 정의하지 않을 것이다. (읭?)

-1의 제곱근은 두 개이기 때문에, i가 -1의 "그" 제곱근인지 "또 다른" 제곱근인지 알 길이 없기 때문이다.

물론, 모든 정리와 정의는 i와 -i를 바꿔치기해도 문제가 생기지는 않는다.

(마치 전류의 흐름을 -에서 +로 잡든, +에서 -로 잡든 큰 문제가 없는 것처럼)

따라서 i를 -1의 제곱근으로 정의하여도 큰 문제는 없지만, 잘 정의되어있는 것well-defined이 아니다.

우리는 아래와 같이 복소수 집합을 정의한다.

즉, C를 RxR로 보는 것이다.

[복소해석학] 시리즈의 시작을 장식하는 첫 정의!

정의 1.1 (복소수 집합의 정의)

앞으로 이런 복소수 집합의 원소 (x,y)를 복소수라고 부르자.

2. 복소수에서의 덧셈과 곱셈

복소수를 정의하였으므로 이제 복소수간의 연산을 정의하자.

+와 *를 정의하도록 한다. 그리고 각각 덧셈! 곱셈!이라고 읽는다.

+와 *의 정의는 각각 아래와 같다. (각각 정의 1.2 (덧셈의 정의), 정의 1.3 (곱셈의 정의))

연산을 정의했으니 각 연산에 대한 결합법칙associative law과 교환법칙commutative law,

그리고 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙distributive law을 증명해보도록 한다. 다 알겠지만

증명하기 위해서 필요한 사실들은 방금 정의한 덧셈과 곱셈,

그리고 실수가 가환환commutative ring이라는 사실(체이기도 하지만..)이다.

증명과정이 쉬우므로 각 과정에서 어떤 성질이 쓰였는지는 바로 알 수 있을 것이다. 사실 귀찮기도 해서

우선 덧셈의 결합법칙이다.

정리 1.1 (덧셈의 결합법칙)

마찬가지로 덧셈의 교환법칙도 증명할 수 있다.

정리 1.2 (덧셈의 교환법칙)

곱셈의 결합법칙은 복소수에서의 곱셈의 정의식이 좀 길기 때문에 식을 전개하는 과정이 약간 길다.

하지만 마찬가지로 쉽게 증명된다.

정리 1.3 (곱셈의 결합법칙)

곱셈의 교환법칙.

정리 1.4 (곱셈의 교환법칙)

마지막으로 분배법칙이다.

정리 1.5 (덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙)

이렇게, 복소수에서의 덧셈 +와 곱셈*를 정의하고 결합,교환,분배법칙이 성립되는지 알아보았다.

잠깐 지금까지의 내용을 정리하자.

우리는 복소수를 정의했고, 복소수의 덧셈과 곱셈, 그리고 이들 연산의 결합,교환,분배법칙을 다루었다.

3. i는 -1의 제곱근?

이제 우리는 그토록 원하던 i^2 = -1을 보일 것이다.

이에 앞서 실수 집합이 복소수 집합의 부분 집합임을 보이기 위해, 아래와 같은 함수를 정의하자.

이제 위의 함수가 단사함수injection임을 보이자. (그러면 R이 C에 속한다고 말할 수 있다.)

이라는 것은 곧,

이라는 것이므로

따라서, f는 단사 함수이며 우리는 a를 (a,0)로 여길 수 있다.

정리 1.6 (실수 집합과 복소수 집합의 포함관계)

그리고 a = (a,0)이다. 정의 1.4 (실수의 표기법)

결국 (0,0)=0, (1,0)=1이다.

마찬가지로 복소수에서도 0과 1은 각각 덧셈과 곱셈의 항등원identity element이다.

우선 덧셈은,

정리 1.7 (덧셈과 곱셈에 대한 항등원)

정의 1.2 실수의 성질

이며, 곱셈은

정의 1.3 실수의 성질

으로 항등원임을 쉽게 알 수 있다.

그리고 드디어(!) i = (0,1)로 정의하자. 정의 1.5 (허수 단위의 정의)

i가 우리가 아는 i일까?

i를 제곱해보면 알 수 있다.

정리 1.8 (i의 제곱)

정의 1.5 정의 1.3 정의 1.4

그렇다. 제곱해서 -1이 되는 그 i이다.

이제 (x,y) = x + yi임을 증명하도록 한다.

정리 1.9 (복소수의 표준 표기법standard form)

(데카르트 형식Cartesian form이라고도 불리움)

각 등호 별로 정의 1.2, 정의 1.4 및 실수의 성질, 정의 1.3, 정의 1.4 및 정의 1.5가 쓰였다.

결국 아래와 같이 나타낼 수 있는 것이다.

이제 뭔가 복소수러워졌다!

4. 복소수 집합은 가환환이다!

정리 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6, 1.7에 덧셈의 역원이 있다는 정리만 추가되면 복소수 집합은 환이되며,

정리 1.4에 의해서 가환환이 된다.

참고로, 정리 1.1, 1.2, 1.6,에 덧셈의 역원inverse element이 있다는 정리를 통해

복소수 집합은 아벨군abelian group임을 알 수 있다.

이제 덧셈의 역원이 있다는 명제를 증명하자.

즉, 아래와 같음을 보이자.

정리 1.10 (덧셈에 대한 역원)

증명은 매우 간단하다.

각 등호 별로 정리 1.9, 정의 1.2, 실수의 성질, 정의 1.4가 쓰였다.

정리 1.11 (가환환)

복소수 집합은 가환환이다.

정리 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.10에 의해 증명 끝.

이제 복소수 상등을 증명하자.

딱히 넣을 곳이 없어서 이 섹션에 넣었다.

정리 1.12 (복소수 상등)

우에서 좌로 가는 것은 자명.

정리 1.9에 의해

따라서,

5. 복소수 집합은 체이다!

정리 1.11에 의해 복소수 집합은 가환환임을 알았다.

여기에 0과 1이 다르다는 조건과,

0 이외의 모든 복소수에 대해 곱셈에 대한 역원이 존재한다는 사실만 보이면 복소수 집합은 체임이 증명되는 것이다.

이를 보이기 위해 복소켤레(혹은 복소공액)complex conjugate를 정의하자.

복소수 z를 와 같다고 할 때, 그 켤레를 아래와 같이 표기한다. (z*로도 표시한다.)

정의 1.6 (복소켤레)

이때, 복소켤레에 관한 다양한 성질들을 증명해보자.

정리 1.13

정리 1.13을 증명하기 위해, 아래 사실을 이용하자. (정리 1.9)

즉,

이다. (정리 1.12)

따라서 실수의 성질에 의해,

이며 결국 z는 실수이다.

반대 방향으로, z가 실수라는 것은 그 허수부가 0이라는 것이다. (정의 4)

따라서,

이므로

이다.

이제, 다른 성질들을 증명하기 위해 z와 w를 아래와 같이 잡을 수 있다.

정리 1.14

정리 1.14를 증명하자.

좌변을 정리하면 (정리 1.11, 정의 1.6)

이며, 우변을 정리하면(정리 1.11, 정의 1.6)

이 되어 증명 끝.

정리 1.15

정리 1.15도 정리 1.14처럼 좌변과 우변을 각각 변형하여 증명할 수 있다.

좌변은, (정리 1.11, 정의 1.6)

이며, 우변은 (정리 1.11, 정의 1.6)

정리 1.16

증명해보자. (정의 1.6)

정리 1.17

이는 정리 1.14에 의해 증명된다.

정리 1.18

각 등호별로 정리 1.9, 정리 1.4 및 정리 1.8, 정리 1.10 사용

정리 1.19

이며, 특히

이는 정리 1.18에 의해 자명하다.

실수의 제곱의 합은 0이상이며, 두 실수가 0이 아니면 그 두 실수의 제곱의 합은 양수이기 때문이다.

정리 1.20 (곱셈에 대한 역원)

정리 1.19에 의해,

실수는 체이므로,

이제 복소수 w를 아래와 같이 놓자. (복소수 z bar의 실수배이므로 존재함.)

따라서,

w는 z의 곱셈에 대한 역원이 된다.

정리 1.21 (체)

복소수 집합은 체이다.

정리 1.11에 의해 복소수 집합은 가환환이며,

0과 1은 다르며 (실수 집합에서, 그리고 실수 집합은 복소수 집합의 부분집합이므로(정리 1.6)),

정리 1.20에 의해 체의 조건을 만족한다.

이렇게 복소수의 정의, 여러 성질들, 그리고 복소수 집합이 체라는 사실을 증명하였다.

즉, 복소수를 다룰 때에는 이제 체의 성질을 마음껏 가져다 써도 된다!

(…)

복소 로그 함수와 복소 지수, 그리고 다가성 (multivaluedness)

Zeta611 — Wed, 29 Oct 2014 01:20:28 +0900

추석 연휴라 하라는 숙제는 안하고 시간이 많이 남아 수식을 치는 시간이 굉장히 오래 걸림에도 불구하고 활발하게 포스팅을 할 수 있네요.

우선 제목을 보면...

복소 로그 함수, 복소 지수도 생소하고 다가성도 생소할 수 있다.

뭐, 딱히 어려운 개념은 아니다.

복소 로그 함수는 수학자들이 좋아하는 일반화와 확장을 로그 함수의 정의역에 적용한 것이다.

우리는 복소수의 사칙연산도 할 수 있으며, 지수 연산도 가능한데

(http://zetablog.tistory.com/9 참고)

로그 함수라고 못할 것이 있겠는가.

복소 지수도 마찬가지이다.

이 포스트에서 우리는 로그 함수와 지수의 정의역을 복소수로 확장하고,

이에 따라 나타나는 복소 로그 함수와 복소 지수에 따른 흥미로운 성질을 알아보도록 한다.

아, 물론 너무 깊이까지 들어가지는 않을 것이다.

복소 로그 함수에 대해 알아보기 전에 간단히 다가성에 대해 알아보자.

어떤 함수가 다가성을 지닌다고 하면, 그 함수는 다가 함수라고 한다.

다가? Multi-value? ....설마 함숫값이 여러개..?!

그렇다. 다가 함수의 함숫값은 여러 개이다.

함수의 정의와 상반되는 말이지만, 어쩌겠는가.

이게 바로 다가 함수이다.

(사실 다가 함수 자체가 옳게 선정된 단어는 아니지만, 이미 굳어진 표현이다.)

이미 우리는 제곱근을 배울 때 다가성을 배웠다.

어떤 수의 제곱근은 2개, 세제곱근은 3개, ..., n제곱근은 n개의 값을 가진다는 것이 바로 다가 함수의 예이다.

또한, 부정적분도 다가 함수라고 볼 수 있다.

적분 상수가 미정이기 때문이다.

삼각함수의 역함수 또한 다가 함수임은 쉽게 알 수 있다.

그리고 이 리스트에 우리는 복소 로그 함수를 추가하게 될 것이다.

오일러 공식에 따라 우리는 모든 복소수는 아래와 같은 극형식으로 나타낼 수 있다는 것을 알고 있다.

즉, 원점에서 거리가 r이고 x축으로부터 각도, 즉 편각이 θ인 복소수에 대해서 말이다.

그리고 이런 극형식이 유용한 이유는 크기가 같은 두 복소수를 곱했을 때, 그 값은 단순히 편각을 더한 복소수가 되고, 편각이 같은 두 복소수를 더했을 때는 단순히 크기만 더해지는 복소수가 나오기 때문이다.

이를 통해 우리는 어떤 수에 i를 곱하는 것은 그 복소수가 복소평면에서 반시계방향으로 pi/2회전하는 것을 의미하며, -1을 곱하는 것은 i를 두번 곱한 것이므로 pi, 1은 2pi를 회전시키는 것임을 손쉽게 알 수 있다.

정말 멋진 해석이다.

수의 연산을 기하학적으로 풀어낸 것이다.

특히, 뒤에 나올 1의 n제곱근에 대한 기하학적 해석에서 멋진 일이 발생함을 알 수 있다.

(그래도 이해가 안되면 http://blog.naver.com/tommytom611/220116689497을 참고하자!)

우리는 방금 w에 대한 식에서 2(pi)in을 찾아볼 수 있었다.

즉, n에 임의의 정수값을 넣어줌으로써 극형식을 바꿔줄 수 있다.

복수수의 편각(theta)은 2pi의 주기성이 있기 때문이다.

극형식 말고 삼각함수로 나타낸 식에서는 보다 자명히 알 수 있는 사실이다.

이제 저 식을 우리가 흔히 알고 있는 자연로그를 양변에 씌워주자.

(복소 로그 함수의 정의이다.)

음... 그렇군.

로그에 복소수가 들어오니 그 값도 여러개가 될 수 있는 거구나~

좀 싱겁게 끝난 감이 없지 않아 있지만, 복소 지수로 넘어가자.

마찬가지로 w와 z가 복소수라고 했을 때, 복소 지수는 아래와 같이 생각해 볼 수 있을 것이다.

(마찬가지로 정의이다.)

이를 활용해서 i^i 같은, 무척이나 추상적인 수를 생각해볼 수 있다.

단위 허수의 단위 허수 승이라니, 뭔가 재미있는 수가 나올 것 같다.

과연 그럴까?

아래와 같이 변형시키자.

ln i는 위에 소개했던 방법으로 찾아보면 아래와 같다.

이는 i의 크기는 1, 각도는 90도, 즉 pi/2이기 때문이며, 이 편각에 n바퀴를 더하여도 상관없기 때문에 나오는 결과이다.

이를 i^i에 대입하면,

이 된다!!

놀랍게도 i^i는 실수이다.

마치 (-1)*(-1)은 양수인 느낌이랄까..?

복소 지수의 개념을 따르면 우리는 일반적인 n제곱근에 대해서도 재미있는 성질을 확인할 수 있다.

1의 n제곱근을 생각해보자.

1의 n제곱근은 다시 말해 x^n=1의 해이며, n개의 해를 가지게 된다.

이 해들을 구하기 위해 아래와 같이 변형시키자.

음... 아직 마음에 와닿지 않는다면!

우리는 맨 처음에 언급했던, "i를 곱하는 것은 pi/2 회전"을 생각해보자.

방금 구한 1^(1/6)에서 n=1을 생각해보고, 이 수를 ε이라고 하자.

ε은 말 그대로 pi/3, 즉 60도 회전을 의미하는 수인 것이다!

ε^2은 120도, ε^3은 180도, 즉 -1, ε^4, ε^5, 해서 다시 ε^6은 원래 위치, 즉 1인 것이다.

이를 복소평면에 올리면 반지름이 1이며 중심이 원점인 원에 내접하며, 1과 -1을 지나는 정육각형이 되는 것이다!

다시 말해, 우리는 1의 n제곱근은 방금의 경우와 같이 정n각형을 그린다는 것을 알 수 있다!

뿐만 아니라, 우리가 방금 찾은 수는 유한 곱셈군을 형성한다.

이들 중 어떤 두개를 골라 곱하면 다른 원소가 나오는 것도 확인할 수 있다.

다시 말해 ε^1 * ε^2 = ε^3처럼 말이다.

곱셈표를 만들어보아도 쉽게 알 수 있다.

어쨋든, 이와 같이 지수와 로그의 정의역을 복소수로 확장하면 다가성과 함께 여러 재밌는 성질을 찾아볼 수 있다.

그리고 이런 다가성을 다루는 방식으로 Riemann은 정의역의 평면을 여러 겹으로(?) 만드는 방식을 만들었다고 한다.

이를 리만 곡면이라고 하는데, 이에 대해서는 아마 다루지 않을 가능성이 높다.

그냥 이런게 있다고만 소개할 것이며, 이유는 본인도 이 개념에 대해서 깊게 이해하고 있지 않기 때문이다.

더 자세히 알게 된다면 물론 자세히 포스팅도 할 것이다.

어쨋든, 언급은 하였기 때문에 간단히 설명해본다.

리만 곡면은 여러 겹으로 복소 평면을 만들어 다가 함수를 일가 함수로 만들어버린다.

즉, z값을 원점을 따라 한 바퀴 돌리더라도, 그렇게 만든 z값은 층이 다르기 때문에 문제가 사라지는 것이다.

예를 들어, 로그 함수는 그 값이 무한개, 지수가 m/n인 유리수이면 n바퀴를 돌고 다시 하나로 합쳐지는 복소 평면을 생각하면 된다.

뭐, 시각화를 위해 log z와 z^(1/2)의 리만 곡면을 울프람 알파를 통해 그려보았다.

음... 이 포스트와 이전 포스트를 통해서 복소수가 멋지다는 것을 알았으면 좋겠다.

특히, 이번 포스트를 완전히 이해했다면, 복소수에 관련된 지수나 로그 연산은 어느정도 능숙하게 다룰 수 있을 것이다.

여러분, 그렇다면 루트 i는 얼마인까요? (모두 이미 알고 있을 것 같은 건 기분 탓)

Euler (오일러) 공식의 세 가지 느슨한 증명

Zeta611 — Wed, 29 Oct 2014 01:18:43 +0900

많은 사람들이 보았을 이 유명한 공식의 이름은 Euler 공식이다.

그리고 이를 통해 바로 알 수 있는..

세상에서 제일 아름다운 공식이라고 하는 Euler 등식은 아래와 같다.

지폐에 담긴 오일러의 모습

이 공식에 대한 가장 간단하고 널리 알려진 증명 3가지를 소개한다.

아래와 같은 함수를 생각하자.

이 함수의 함숫값이 항상 1이라는 것을 증명하면 되는 것이다.

이 함수가 상수함수임을 보이기 위해 x에 대해 미분해주면 아래와 같다.

따라서 f(x)가 상수함수임은 쉽게 알 수 있었다.

x에 0을 넣어주면,

이 되어,

이 된다.

Q.E.D.

아래와 같이 복소수 z를 잡자.

z를 x에 대해 미분하면,

이 되어 z는 지수함수로 표현이 될 거 같은 느낌이 온다!

적분을 위해 양변을 z로 나눈다.

적분을 하면 아래와 같다.

z는 x에 대한 함수로 볼 수 있으므로 x에 0을 넣으면 z는 1이 되어 아래와 같은 식이 나온다.

따라서 적분상수 C는 0이다.

Q.E.D.

모든 복소수는 복소평면위에 놓이므로 아래와 같이 정할 수 있다.

양변을 x에 대해 미분하자. (음함수 미분)

복소수 상등을 생각하면, (x, r, θ 모두 실수이므로) 허수부와 실수부는 각각 아래와 같다.

결국,

이 되어,

이 된다.

다시 x에 0을 넣어 맨 처음 식에 넣어주면 다음과 같다.

따라서

이 되어,

이다.

Q.E.D.

Euler 공식의 증명에 대해 알아보았다.

이 공식의 의미는 복소 로그 함수에 대해 설명할 포스트에서 더 자세히 다루도록 한다.

여하튼 비슷한 느낌의 서로 다른 세 증명법을 소개해보았다.

이제 우리는 세상에서 제일 아름다운 사람

너무 늦었다..ㅠ 자야지

Lagrange (라그랑주) 미정 승수법

Zeta611 — Wed, 29 Oct 2014 01:15:50 +0900

오늘은! Lagrange의 미정 승수법 (Lagrange multiplier)에 대해 알아보자.

라그랑주

어떤 문제를 만났는데, 그 함수의 극값을 구해야한다고 하자.

음... 그냥 미분을 한다음 0이 되는 값을 찾은 후 극값의 조건에 맞는지만 확인하면 된다!

그리고 변수가 많은 경우 이 함수를 다변수 함수로 확장한다면 이의 전미분을 생각해보면 된다.

다시 말해, 독립변수가 3개(x, y, z) 달린 함수 f(x,y,z)의 극값을 구하기 위해서는

f의 전미분 df=0을 생각하면 된다.

즉,

이 0이 된다는 것이며, dx, dy, dz는 서로 독립적이므로,

이어야 한다.

여기까지는 변수가 하나있을 때와 다를 것이 없다.

하지만, 다음과 같이 변수에 제약을 걸어보자.

이제 어떤 한 변수는 다른 변수들에 대해 종속이 된다.

이제 이 조건에 대해 생각해보자.

이 조건의 전미분도 0이 될 것이다.

dz에 대해 정리해보자.

이 식을 f의 전미분 식에 넣으면,

dx와 dy에 대해 묶자.

.....식 a

공통으로 나타나는 비율을 아래와 같이 람다로 잡자.

윗 식을 다시 써보면 아래와 같다.

그리고 람다를 식 a에 넣은 다음, dx와 dy가 독립적으로 움직일 수 있다는 점을 생각하면

아래와 같이 각 항이 0이 되어야 한다.

결국, 다음과 같은 새로운 함수를 정의하여,

새로운 함수 f틸다에 대한 전미분이 0이 되어야하며,

새로 구한 함수는 조건이 없으므로 dx, dy, dz가 독립적으로 움직여 극값에 대해서 아래 식이 만족된다.

지금까지의 논의를 변수 n개, 조건 p개로 일반화시키면 다음과 같다.

함수 에 대해, 조건 가 주어지면,

상수를 준비하여 새로운 함수를 정의한 후,

이 함수의 극값 문제를 생각해보면 된다.

어쨋든, 지금까지 논의한 내용은 극값의 필요조건을 말한 것이다.

즉, 위의 식을 만족한다고 극값이 되는 것이 아니라, 극값이라면 저 식을 만족한다는 것이다.

지금까지 Lagrange 미정 승수법에 대해 알아보았다.

http://zetablog.tistory.com/5에서 그 적용 예를 찾아볼 수 있다.

[수 체계에 대한 공리적 접근] 1. 수 체계에 관한 간단한 개요

Zeta611 — Wed, 29 Oct 2014 01:14:39 +0900

1. 수 체계에 관한 간단한 개요

인간은 생활에 필요한 수인 자연수를 제일 먼저 고안해내었다. 진화와 더불어 자연스레 익힌 개념일 것이다. 물론, 이도 엄청난 발전인 것이다. 사과가 한 개 있는 것과 나무가 한 그루가 있는 것 등의 공통된 성질에 대한 자각인 것이다. 사과와 나무는 엄연히 다른 대상임에도 불구하고, 수에 대한 개념을 간파한 것이다. 이런 능력을 지닌 동물들은 소수에 불과하다.

이렇게 인간은 생활 속에서 자연수를 이해하였다. 그리고 시간이 흘러 비율을 나타내기 위해 유리수의 개념이 도입되고, 일부 문명권에서는 0, 음수, 무리수의 발견으로 이어졌다. 예를 들자면 음수는 중국의 구장산술에서 최초로 언급되며, 무리수는 인도에서 최초로 언급되었다. 그러나, 무리수의 존재에 관한 증명은 히파소스에 의해 최초로 이뤄진다.

그러나 이런 수체계에 대한 보편적인 이해는 훨씬 이후에나 이뤄진다. 0의 보편적 이해는 고대 그리스 시대에도 잘 이뤄지지 않았다. 특히 음수의 개념은 라이프니츠와 그가 개발한 미적분학에 의해 완전히 정립되기 전까지만 해도 여러 수학자들은 음수의 존재를 부정하였다. 무리수에 대한 보편적 이해는 중세에 와서 완전히 이뤄졌다. 그리고 이런 무리수의 개념은 이차방정식의 해를 구하는데에 있어서 필수적이었다. 마지막으로 복소수는 헤론이 음수의 제곱곤을 생각하면서 처음 언급되었으며, 고차 방정식의 해를 구하는 과정에서 허수의 도입이 불가피함이 알려진다. 그리고 허수의 개념은 가우스가 이를 널리 알림으로써 보편적으로 받아들여지게 된다.

물론, 수체계에 대한 역사적인 발견은 실제 수 체계의 범위랑은 조금 맞지 않다. 이렇게 발견된 주요 수 체계를 가장 작은 체계부터 나열하면, 자연수 N, 이에 음의 정수들을 포함한 체계인 정수 체계 Z, a와 b 가 정수이며 b가 0이아닐 때, a/b 의 집합인 유리수 체계 Q, 유리수에 무리수를 포함한 실수 체계 R, 그리고 허수 i를 추가한 복소수 체계 C 순이 된다.

이런 수집합의 포함관계를 나타내면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

그리고 각 집합에서 사칙연산에 대한 성질이 조금씩 다르게 나타나는데, 자세한 것은 뒤에 가서 알아보도록 한다. 어쨋든, 수 체계는 일반적인 방법(고차 다항식의 해를 구하기 위해 새로운 수를 도입하는 방법)으로는 더 이상 확장되지 않는 가장 큰 범위의 수이다. 이는 바로 "복소수를 계수로 가지는 1차 이상의 다항식은 반드시 복소수 해를 가진다"는, 대수학의 기본정리를 통해 알 수 있다. 즉, 복소수체는 대수적으로 닫혀있다는 것을 의미한다.

물론, 수 체계는 이것이 전부가 아니다. 복소수의 발견으로 인간의 사고는 확장되었고, 좀 더 자유로워졌다. 논리적으로 명확하다면, 어떠한 수 체계이든지 만들 수 있다. 위에서 언급한 수 이외에도, 무한대나 무한소를 포함하는 수라든지, 사원수와 같은 고차원 대수도 존재한다. 단지, 어떤 연산을 통해 없던 수가 발견이 되는 현상은 복소수 체계에서는 발생하지 않는다는 것이다. 하지만 이 글에서는 복소수까지만 다룰 것이며, 추가적으로 정수에서의 합동 대수를 다룰 것이다.