[복소해석학] 1. 복소수의 정의 및 기본 성질
[복소해석학] 시리즈의 목표: 이 시리즈 - [복소해석학] - 의 궁극적인 목표는 전에 말했듯이 오일러 공식에 대한 증명을 거쳐, 복소 해석학의 몇몇 기초적인 정리를 엄밀하게 증명하는 것이다.
개요: 이번 포스트에서는 복소수complex numbers 체계를 엄밀하게 정의하는 것을 목표로 하며, 결론적으로는 복소수가 체field임을 보이고, 우리가 잘 아는 복소수의 몇몇 성질들을 증명할 것이다.
경고: 복소수에 대한 기본적인 지식과 연산의 기본 성질들, 그리고 환ring과 체field에 대해서 간단히 알고 있어야 이 글을 즐겁게 읽을 수 있다.
-목차-
1. 복소수 집합 C의 정의
2. 복소수에서의 덧셈과 곱셈
3. i는 -1의 제곱근?
4. 복소수 집합은 가환환이다!
5. 복소수 집합은 체이다!
1. 복소수 집합 C의 정의
이번 포스트에서는 "i는 -1의 제곱근이다"라는 정의에서부터 복소수를 정의하지 않을 것이다. (읭?)
-1의 제곱근은 두 개이기 때문에, i가 -1의 "그" 제곱근인지 "또 다른" 제곱근인지 알 길이 없기 때문이다.
물론, 모든 정리와 정의는 i와 -i를 바꿔치기해도 문제가 생기지는 않는다.
(마치 전류의 흐름을 -에서 +로 잡든, +에서 -로 잡든 큰 문제가 없는 것처럼)
따라서 i를 -1의 제곱근으로 정의하여도 큰 문제는 없지만, 잘 정의되어있는 것well-defined이 아니다.
우리는 아래와 같이 복소수 집합을 정의한다.
즉, C를 RxR로 보는 것이다.
[복소해석학] 시리즈의 시작을 장식하는 첫 정의!
정의 1.1 (복소수 집합의 정의)
앞으로 이런 복소수 집합의 원소 (x,y)를 복소수라고 부르자.
2. 복소수에서의 덧셈과 곱셈
복소수를 정의하였으므로 이제 복소수간의 연산을 정의하자.
+와 *를 정의하도록 한다. 그리고 각각 덧셈! 곱셈!이라고 읽는다.
+와 *의 정의는 각각 아래와 같다. (각각 정의 1.2 (덧셈의 정의), 정의 1.3 (곱셈의 정의))
연산을 정의했으니 각 연산에 대한 결합법칙associative law과 교환법칙commutative law,
그리고 덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙distributive law을 증명해보도록 한다. 다 알겠지만
증명하기 위해서 필요한 사실들은 방금 정의한 덧셈과 곱셈,
그리고 실수가 가환환commutative ring이라는 사실(체이기도 하지만..)이다.
증명과정이 쉬우므로 각 과정에서 어떤 성질이 쓰였는지는 바로 알 수 있을 것이다. 사실 귀찮기도 해서
우선 덧셈의 결합법칙이다.
정리 1.1 (덧셈의 결합법칙)
마찬가지로 덧셈의 교환법칙도 증명할 수 있다.
정리 1.2 (덧셈의 교환법칙)
곱셈의 결합법칙은 복소수에서의 곱셈의 정의식이 좀 길기 때문에 식을 전개하는 과정이 약간 길다.
하지만 마찬가지로 쉽게 증명된다.
정리 1.3 (곱셈의 결합법칙)
곱셈의 교환법칙.
정리 1.4 (곱셈의 교환법칙)
마지막으로 분배법칙이다.
정리 1.5 (덧셈에 대한 곱셈의 분배법칙)
이렇게, 복소수에서의 덧셈 +와 곱셈*를 정의하고 결합,교환,분배법칙이 성립되는지 알아보았다.
잠깐 지금까지의 내용을 정리하자.
우리는 복소수를 정의했고, 복소수의 덧셈과 곱셈, 그리고 이들 연산의 결합,교환,분배법칙을 다루었다.
3. i는 -1의 제곱근?
이제 우리는 그토록 원하던 i^2 = -1을 보일 것이다.
이에 앞서 실수 집합이 복소수 집합의 부분 집합임을 보이기 위해, 아래와 같은 함수를 정의하자.
이제 위의 함수가 단사함수injection임을 보이자. (그러면 R이 C에 속한다고 말할 수 있다.)
이라는 것은 곧,
이라는 것이므로
따라서, f는 단사 함수이며 우리는 a를 (a,0)로 여길 수 있다.
정리 1.6 (실수 집합과 복소수 집합의 포함관계)
그리고 a = (a,0)이다. 정의 1.4 (실수의 표기법)
결국 (0,0)=0, (1,0)=1이다.
마찬가지로 복소수에서도 0과 1은 각각 덧셈과 곱셈의 항등원identity element이다.
우선 덧셈은,
정리 1.7 (덧셈과 곱셈에 대한 항등원)
정의 1.2 실수의 성질
이며, 곱셈은
정의 1.3 실수의 성질
으로 항등원임을 쉽게 알 수 있다.
그리고 드디어(!) i = (0,1)로 정의하자. 정의 1.5 (허수 단위의 정의)
i가 우리가 아는 i일까?
i를 제곱해보면 알 수 있다.
정리 1.8 (i의 제곱)
정의 1.5 정의 1.3 정의 1.4
그렇다. 제곱해서 -1이 되는 그 i이다.
이제 (x,y) = x + yi임을 증명하도록 한다.
정리 1.9 (복소수의 표준 표기법standard form)
(데카르트 형식Cartesian form이라고도 불리움)
각 등호 별로 정의 1.2, 정의 1.4 및 실수의 성질, 정의 1.3, 정의 1.4 및 정의 1.5가 쓰였다.
결국 아래와 같이 나타낼 수 있는 것이다.
이제 뭔가 복소수러워졌다!
4. 복소수 집합은 가환환이다!
정리 1.1, 1.2, 1.3, 1.5, 1.6, 1.7에 덧셈의 역원이 있다는 정리만 추가되면 복소수 집합은 환이되며,
정리 1.4에 의해서 가환환이 된다.
참고로, 정리 1.1, 1.2, 1.6,에 덧셈의 역원inverse element이 있다는 정리를 통해
복소수 집합은 아벨군abelian group임을 알 수 있다.
이제 덧셈의 역원이 있다는 명제를 증명하자.
즉, 아래와 같음을 보이자.
정리 1.10 (덧셈에 대한 역원)
증명은 매우 간단하다.
각 등호 별로 정리 1.9, 정의 1.2, 실수의 성질, 정의 1.4가 쓰였다.
정리 1.11 (가환환)
복소수 집합은 가환환이다.
정리 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.10에 의해 증명 끝.
이제 복소수 상등을 증명하자.
딱히 넣을 곳이 없어서 이 섹션에 넣었다.
정리 1.12 (복소수 상등)
우에서 좌로 가는 것은 자명.
정리 1.9에 의해
따라서,
5. 복소수 집합은 체이다!
정리 1.11에 의해 복소수 집합은 가환환임을 알았다.
여기에 0과 1이 다르다는 조건과,
0 이외의 모든 복소수에 대해 곱셈에 대한 역원이 존재한다는 사실만 보이면 복소수 집합은 체임이 증명되는 것이다.
이를 보이기 위해 복소켤레(혹은 복소공액)complex conjugate를 정의하자.
복소수 z를 
정의 1.6 (복소켤레)
이때, 복소켤레에 관한 다양한 성질들을 증명해보자.
정리 1.13
정리 1.13을 증명하기 위해, 아래 사실을 이용하자. (정리 1.9)
즉,
이다. (정리 1.12)
따라서 실수의 성질에 의해,
이며 결국 z는 실수이다.
반대 방향으로, z가 실수라는 것은 그 허수부가 0이라는 것이다. (정의 4)
따라서,
이므로
이다.
이제, 다른 성질들을 증명하기 위해 z와 w를 아래와 같이 잡을 수 있다.
정리 1.14
정리 1.14를 증명하자.
좌변을 정리하면 (정리 1.11, 정의 1.6)
이며, 우변을 정리하면(정리 1.11, 정의 1.6)
이 되어 증명 끝.
정리 1.15
정리 1.15도 정리 1.14처럼 좌변과 우변을 각각 변형하여 증명할 수 있다.
좌변은, (정리 1.11, 정의 1.6)
이며, 우변은 (정리 1.11, 정의 1.6)
정리 1.16
증명해보자. (정의 1.6)
정리 1.17
이는 정리 1.14에 의해 증명된다.
정리 1.18
각 등호별로 정리 1.9, 정리 1.4 및 정리 1.8, 정리 1.10 사용
정리 1.19
이며, 특히
이는 정리 1.18에 의해 자명하다.
실수의 제곱의 합은 0이상이며, 두 실수가 0이 아니면 그 두 실수의 제곱의 합은 양수이기 때문이다.
정리 1.20 (곱셈에 대한 역원)
정리 1.19에 의해,
실수는 체이므로,
이제 복소수 w를 아래와 같이 놓자. (복소수 z bar의 실수배이므로 존재함.)
따라서,
w는 z의 곱셈에 대한 역원이 된다.
정리 1.21 (체)
복소수 집합은 체이다.
정리 1.11에 의해 복소수 집합은 가환환이며,
0과 1은 다르며 (실수 집합에서, 그리고 실수 집합은 복소수 집합의 부분집합이므로(정리 1.6)),
정리 1.20에 의해 체의 조건을 만족한다.
이렇게 복소수의 정의, 여러 성질들, 그리고 복소수 집합이 체라는 사실을 증명하였다.
즉, 복소수를 다룰 때에는 이제 체의 성질을 마음껏 가져다 써도 된다!
(…)