[복소해석학] 2. 복소 함수의 극한과 엡실론-델타 논법 (ε-δ 논법)
[복소해석학] 시리즈의 구성: 본편은 개념 및 증명 위주, 부록편은 본편에 대한 간단한 되짚기와 예시, 그리고 informal한 내용을 다룰 것이다.
개요: 복소 함수에서의 극한에 대해 알아본다. 엡실론-델타 논법에 대한 이해를 목적으로 하는 포스트라고도 볼 수 있다. 그리고 이번 포스트에서는 정리가 등장하지 않기에 증명도 없을 것이다! 오직 개념을 설명하기 위해 포스팅을 하였다. 또한, 복소 함수에서의 미분도 간단히 소개해보았다.
경고: 아래의 엡실론-델타 논법을 이해하기 위해서는 적어도 극한(궁극의 한계...!)이 무엇인지는 들어봤어야 한다.
-목차-
1. 복소 함수의 정의
2. 복소 함수에서의 엡실론-델타 논법 (ε-δ 논법)
3. 복소 함수에서의 미분에 대한 간단한 개요
1. 복소 함수의 정의
지난번 포스팅에서는 복소수에 대해서 엄밀하게 정의해보았다.
특히, 우리는 복소수 집합이 체라는 사실을 알게 되었으며, 관련된 여러 기본 정리들을 살펴보았다.
이번에는 복소수를 변수로 가지는 함수에 대해서 정의해보자.
(사상, 함수와 같이 너무 기초적인 것은 따로 정의하지 않겠다.)
정의 2.1 (복소 함수의 정의)
정의역과 공역이 각각 아래와 같을 때,
아래와 같은 함수 f를 복소 함수라고 한다.
즉, 독립변수와 종속변수가 복소수인 함수가 바로 복소 함수인 것이다.
2. 복소 함수에서의 엡실론-델타 논법 (ε-δ 논법)
극한이 무엇인지는 대략적으로 알 것이라 생각한다.
아래의 정의 2.2가 바로 극한의 엄밀한 정의이다.
정의 2.2 (복소 함수의 극한_엡실론-델타 논법)
어떤 복소 함수 f(z)에 대해서,
일 때, L의 값을 z→c에서의 함수 f(z)의 극한값이라고 하며, 아래와 같이 표기한다.
이게 무슨 말인지 차근차근 알아보자.
우선 저 술어논리식을 일상어로 표현해보자면,
L이 z→c에서의 f(z)의 극한값이라는 것은 대략 아래와 같다.
"임의의 양의 실수 ε에 대해, 적당한 양의 실수 δ가 존재하여, 모든 z에 대해,
z와 c의 차이가 0과 δ의 사이라면, f(z)와 L의 차이가 ε 미만이 된다."
여전히 미궁 속
그럼,
"모든 z에 대해, z와 c의 차이가 0과 δ의 사이라면"
의 부분을 뜯어보자.
이 부분은 우리가 원래 알던 극한의 뜻에서, z가 c에 한없이 다가간다는 부분에 해당한다.
참고로, 차이가 0보다 크다는 것은 z가 곧 c라는 것이 아니라는 것을 말해주는 부분이다.
아직 감이 안잡히겠지만, 뒷부분도 한번 보자.
"f(z)와 L의 차이가 ε 미만이 된다."
음.. 함숫값도 어떤 값 L에 다가간다는 부분이다.
대충 합쳐보면, "z가 c에 한없이 다가가면 f(z)도 L에 다가간다."가 된다.
이제 맨 앞,
"임의의 양의 실수 ε에 대해, 적당한 양의 실수 δ가 존재하여,"
를 보자.
어떤 양의 실수(ε)를 정하든지 간에, 적당한 양의 실수 δ가 존재한다!
음.. 따로 해석하면 원래 문장과 다를 것이 없으니, 이 부분은 뒷부분과 같이 생각해보자.
"z와 c의 차이가 적당히 작으면(δ), 그 함숫값 f(z)와 L의 차도 임의로 작아질 수 있다(ε)."
즉, z와 c의 차이 δ를 우리가 정해서 f(z)와 L의 차이가 원하는 만큼(ε만큼) 작게할 수 있다는 것이다!
이 정도면 충분하다고 생각하지만, 그래도 혹시 모르니깐 마지막으로 한 번 더 풀어 설명해본다. ^^
"L이 z→c에서의 f(z)의 극한값이라는 것 =
ε>0을 얼만큼 작게 만들지 간에, 우리는 항상 δ>0를 잡을 수 있어서,
c에 매우 가까운 z (그 차이는 δ)에 대해서
f(z)와 L의 차이가 ε보다 작게 만들 수 있다는 것"
그래도 이해를 못하겠으면 댓글을 남겨주세요.
3. 복소 함수에서의 미분에 대한 간단한 개요
이제 복소 함수의 극한을 알았으니 미분을 알아보자.
정의 2.3 (점에서의 복소 미분 가능성)
열린 집합 D를 정의역으로 가지는 복소 함수 f가 어떤 점 z_0에서 미분가능하다는 것, 즉
이 증분 h가 0에 어떻게 다가가는지에 상관 없이 유한한 수로 정해져있다는 것과 필요충분조건이다.
정의 2.4 (영역에서의 복소 미분 가능성)
복소 함수 f가 아래와 같은 열린 집합 D에서 복소 미분 가능하다는 것은,
모든
정의 2.5 (복소 함수의 미분계수)
복소 함수 f가 
(정의 2.2 이용)
을 f의 z_0에서의 미분계수라고 하며, 아래와 같이 다양한 방법으로 표기할 수 있다. 
정의 2.6 (복소 함수의 도함수)
복소 함수 f가 열린 집합 D에서 미분 가능 할 때, (정의 2.4 이용) 아래와 같은 함수를 f의 도함수라고 정의하자.
그리고 그 함숫값은 
보면 알겠지만, 이상의 정의 2.3에서 2.6은 실변수 미분일 때랑 완전히 그 정의가 동등하다.
단지 변수가 복소수로 확장되었다는 것뿐이다.
하지만, 그 본질에는 굉장히 큰 차이가 있다...
이 부분은 다음 포스트에 복소평면을 소개하면서, 코시-리만 방정식과 함께 다룰 예정이다!
(아직 삼각함수를 정의하지 않아서 극좌표에 대한 소개는 곤란하다..)
다음 포스트는 지금 언급했듯이 복소평면, 코시-리만 방정식과 더불어
(드디어) 삼각함수와 지수함수, 로그함수를 정의하도록 할 예정이다.
