[복소해석학] 3. 대수적 구조에 관한 공리

복소해석학

3. 대수적 구조에 관한 공리

개요: 지난번 포스트에서는 복소 함수의 극한과 엡실론-델타 논법에 대해서 알아보고, 특히 이를 토대로 복소 함수의 미분에 대해서 간단히 살펴보았다. 이번 포스트에서는 복소 평면, 코시-리만 방정식Cauchy-Riemann equation과 여러가지 복소 함수의 예를 살펴보기로 하였으나, 아무래도 한 번에 여러 주제를 다루는 것은 무리인 것 같아 벡터 공간과 복소 평면에 대해 다루기 위한 전단계로, 대수적 구조, 특히 군, 환, 체, 아벨군 등과 같은 대수적 구조에 관해서 자세히 알아보기로 한다. 특히, 이들의 공리에 대해 알아본다.

경고: 예상과는 달리 복소해석학을 다루기 위한 전단계가 굉장히 길어지고 있고, 앞으로도 굉장히 긴 작업이 필요할 것 같다. 또한, 이 글의 주제에서 알 수 있듯이, 이 글이 해석학 분류에 들어가는 것은 잘못된 분류이지만, [복소해석학] 시리즈의 한 부분이기 때문에 해석학 분류에 넣었다. 아무래도 한 시리즈가 여러 항목에 산발적으로 흩어져있는 것은 좋지 못한 일이라고 판단했기 때문이다.

여러 대수적 구조를 군 관련, 환 관련, 체 관련, 이렇게 세 가지 종류로 나누어 소개할 것이다. 우리는 간단하고 적은 조건만을 만족시켜도 되는 대수적 구조에서부터, 체를 정의하기 위해 차례차례 새로운 대수적 구조를 소개할 것이다. 이 포스트에 나오는 많은 대수적 구조가 이어지는 포스트에 등장할 수 있을 것이다.

일단 대수적 구조algebraic structure가 무엇인지 정의하자. (집합과 연산에 관해서도 정의를 하기에는 무리인 것 같다.)

정의 3.1 (대수적 구조)

어떤 집합 $S$와 하나 이상의 이항 연산자 $\circ_1, \cdots, \circ_n$가 $S \times S$의 모든 원소에 대해서 정의되었을 때, 이러한 집합 $S$를 대수적 구조라고 정의하고, $\left( S, \circ_1, \cdots, \circ_n \right)$로 표기한다.

1. 군 관련

우리는 가장 간단한 대수적 구조라고도 볼 수 있는, 어떤 연산 $\circ$와 이에 대해 닫혀있는 집합 $S$만으로 이뤄진 대수적 구조인 마그마magma를 정의하자. (물론 방금 다 말해버렸지만!)

여담이지만, 마그마라는 말은 프랑스말로 마구 섞어놓은이라는 뜻으로도 쓰이는데, 이 의미에서 마그마라는 이름을 붙인 것이라고 한다.

정의 3.2 (마그마)

$S$가 $\circ$에 대해 닫혀있는 대수적 구조 $\left( S, \circ \right)$를 마그마라고 정의한다. 즉, 아래와 같은 공리를 만족시킨다는 것이다. 

공리 3.2.1

$$\forall a, b \in S : a \circ b \in S$$

다음은 반군semigroup의 정의이다.

정의 3.3 (반군)

$\left( S, \circ \right)$를 마그마라고 하자. 만약 $S$에서 $\circ$이 결합법칙을 만족시킨다면 이 마그마를 반군이라고 정의하자. 즉, 아래의 공리를 만족시키면 된다.

공리 3.3.1

$$\forall a, b \in S : a \circ b \in S$$

공리 3.3.2

$$\forall a, b, c \in S : a \circ \left( b \circ c \right) = \left( a \circ b \right) \circ c$$

정의 3.4 (군)

어떤 반군$\left( G, \circ \right)$이 항등원을 가지고 있고, 모든 원소에 대한 역원이 존재하면, 이러한 반군을 군이라고 정의하자. 다시말해, 아래의 공리를 만족하면 군이라고 한다.

공리 3.4.1

$$\forall a, b \in G : a \circ b \in G$$

공리 3.4.2

$$\forall a, b, c \in G : a \circ \left( b \circ c \right) = \left( a \circ b \right) \circ c$$

공리 3.4.3

$$\exists e \in G : \forall a \in G : e \circ a = a = a \circ e$$

공리 3.4.4

$$\forall a \in G : \exists b \in G : a \circ b = e = b \circ a$$

이제 아벨군abelian group에 대해 알아볼 것이다.

여담이지만, 아벨군에서의 abelian은 비록 수학자 아벨의 이름을 따서 붙인 것이지만 맨 앞의 a를 대문자로 쓰지 않는것이 관습이다. 이는 수학에서 그의 이름이 굉장히 많이 사용된다는 것을 보여주는 단적이 예이다.

정의 3.5 (아벨군)

군 $\left( G, \circ \right)$에서 $\circ$에 대해 교환법칙이 성립한다면 군 $G$를 아벨군이라고 정의하자. 즉, 아래의 공리를 만족시킨다면 아벨군이라고 정의한다.

공리 3.5.1

$$\forall a, b \in G : a \circ b \in G$$

정의 3.5.2

$$\forall a, b, c \in G : x \circ \left( b \circ c \right) = \left( a \circ b \right) \circ c$$

공리 3.5.3

$$\exists e \in G : \forall a \in G : e \circ a = a = a \circ e$$

공리 3.5.4

$$\forall a \in G : \exists b \in G : a \circ b = e = b \circ a$$

공리 3.5.5

$$\forall a, b \in G : a \circ b = b \circ a$$

2. 환 관련

지금까지 봤듯이, 점점 더 구체적인 대수적 구조로 파고들수록 공리의 수는 많아진다. 하지만, 많아지는 이유는 단순히 이전 단계의 구조의 공리에 새로운 제약을 가해지는 방식으로 공리가 붙기 때문인 것에 불과하다.

우선 첫번째로 소개할 환 관련 대수적 구조는 바로 ringoid이다. 마땅한 번역이 없는데, -oid라는 의미는 -꼴이라는 뜻이므로 직역하면 환꼴 정도 될 것이다. 하지만 그냥 링오이드라고 쓰기로 한다.

정의 3.6 (링오이드)

집합 $S$와 여기에서 정의된 두 이항 연산자 $\circ$와 $\ast$를 잡자. 그리고 이 두 연산이 $S \times S$의 모든 원소에서 정의되어있고, $\circ$의 $\ast$에 대한 분배법칙이 성립한다면 $\left( S, \ast, \circ \right)$를 링오이드라고 정의하자. 즉, 아래의 공리를 만족하면 링오이드이다.

공리 3.6.1

$$\forall a, b, c \in S : a \circ \left( b \ast c \right) = \left( a \circ b \right) \ast \left( a \circ c \right), \,\, \left( a \ast b \right) \circ c = \left( a \circ c \right) \ast \left( b \circ c \right)$$

이제 반환semiring에 대해 알아보자.

정의 3.7 (반환)

만약 링오이드 $\left( S, \ast, \circ \right)$에서 *$\left( S, \ast \right)$와 $\left( S, \circ \right)$가 각각 반군을 형성한다면 링오이드 $\left( S, \ast, \circ \right)$는 반환이라고 정의한다. 즉, 아래와 같은 공리를 만족한다면 반환이라고 정의한다.**

공리 3.7.1

$$\forall a, b \in S : a \ast b \in S$$

공리 3.7.2

$$\forall a, b, c \in S : \left(a \ast b \right) \ast c = a \ast \left( b \ast c \right)$$

공리 3.7.3

$$\forall a, b \in S : a \circ b \in S$$

공리 3.7.4

$$\forall a, b \in S : \left( a \circ b \right) \circ c = a \circ \left( b \circ c \right)$$

공리 3.7.5

$$\forall a, b, c \in S : a \circ \left( b \ast c \right) = \left( a \circ b \right) \ast \left( a \circ c \right), \,\, \left( a \ast b \right) \circ c = \left( a \circ c \right) \ast \left( b \circ c \right)$$

이제 환ring에 대해서 알아보자.

정의 3.8 (환)

반환 $\left( R, \ast, \circ \right)$에서 $\left( R, \ast \right)$이 아벨군이면 $R$은 환이라고 정의한다. 즉, 아래의 공리를 만족시키면 환이라고 정의한다.

공리 3.8.1

$$\forall a, b \in R : a \ast b \in R$$

공리 3.8.2

$$\forall a, b, c \in R : \left( a \ast b \right) \ast c = a \ast \left( b \ast c \right)$$

공리 3.8.3

$$\forall a, b \in R : a \ast b = b \ast a$$

공리 3.8.4

$$\exists 0_R \in R : \forall a \in R : a \ast 0_R = a = 0_r \ast a$$

공리 3.8.5

$$\forall a \in R : \exists a' \in R : a \ast a' = 0_r = a' \ast a$$

공리 3.8.6

$$\forall a, b \in R : a \circ b \in R$$

공리 3.8.7

$$\forall a, b, c \in R : \left( a \circ b \right) \circ c = a \circ \left( b \circ c \right)$$

공리 3.8.8

$$\forall a, b, c \in R : a \circ \left( b \ast c \right) = \left( a \circ b \right) \ast \left( a \circ c \right), \,\, \left( a \ast b \right) \circ c = \left( a \circ c \right) \ast \left( b \circ c \right)$$

이번에는 특수한 경우인 자명환trivial ring(zero ring, null ring)의 정의를 알아보자.

정의 3.9 (자명환)

원소가 하나만 있는 환을 자명환이라고 정의한다. 즉, 그 원소는 $0_R$이라고 할 수 있다. 그리고 $\left( \left\{ 0_R \right\}, +, \circ \right)$에서 정의된 $+$와 $\circ$는 각각 $0_R + 0_R \ 0_R, 0_R \circ 0_R = 0_R$을 만족한다.


이제 유니탈 환unital ring 및 유니티unity가 무엇인지 알아보자.

정의 3.10 (유니탈 환 및 유니티)

비자명환 $\left( R, +, \circ \right)$에서 만약 반군 $\left( R, \circ \right)$이 항등원을 가지고 있다면 $R$은 유니탈 환이라고 정의한다. 이때, $\left( R, \circ \right)$의 항등원 $1_R$을 유니탈 환 $R$의 유니티라고 정의한다.

3. 체 관련

이번에는 나눗셈환에 대해서 설명한다. 나눗셈환은 체의 성격이 짙기 때문에 체 관련 항목에 넣었다.

정의 3.11 (나눗셈환)

유니탈 환 $\left( R, +, \circ \right)$에 대해서 모든 $0_R$ 아닌 원소의 역원이, $0_R$이 아닌 특정 원소로 유일하다면 $R$은 나눗셈환이다. 다시 말해, 아래의 조건을 만족하면 나눗셈환이다.

$$\forall a \in R \backslash \left\{ 0 \right\} : \exists ! a^{-1} \in R \backslash \left\{ 0 \right\} : a \circ a^{-1} = 1_R = a^{-1} \circ a$$

드디어 체의 정의이다! (이미 첫번째 포스트에서 사용했지만, 뒤늦게 정의하는군요…)

정의 3.12 (체)

비자명 나눗셈환 $\left( F, +, \times \right)$에서 환 곱 $\times$이 교환법칙을 만족한다면 체라고 정의하자. 즉, 아래의 공리를 만족하면 체라고 정의하자.

공리 3.12.1

$$\forall a, b \in F : a + b \in F$$

공리 3.12.2

$$\forall a, b, c \in F : \left( a + b \right) + c = a + \left( b + c \right)$$

공리 3.12.3

$$\forall a, b \in F : a + b = b + a$$

공리 3.12.4

$$\exists 0_F \in F : \forall a \in F : a + 0_F = a = 0_F + a$$

공리 3.12.5

$$\forall a \in F : \exists a' \in F : a + a' = 0_F = a' + a$$

공리 3.12.6

$$\forall a, b \in F : a \times b \in F$$

공리 3.12.7

$$\forall a, b, c \in F : \left( a \times b \right) \times c = a \times \left( b \times c \right)$$

공리 3.12.8

$$\forall a, b \in F : a \times b = b \times a$$

공리 3.12.9

$$\exists 1_F \in F, 1_F \neq 0_F : \forall a \in F : a \times 1_F = a = 1_F \times a$$

공리 3.12.10

$$\forall a \in F \backslash \left\{ 0 \right\} : \exists a^{-1} \in F \backslash \left\{ 0 \right\} : a \circ a^{-1} = 1_F = a^{-1} \times a$$

공리 3.12.11

$$\forall a, b, c \in F : a \times \left( b + c \right) = \left( a \times b \right) + \left( a \times c \right)$$

지금 이렇게 다 쓰고 보니 그냥 공리 모음집이 된 것 같기도 하다. 하지만 다음 포스트를 위해 필요한 내용이고, 사실 목적은 복소해석학인 만큼 최소한으로 설명하였다.

다음 포스트에서는 가군이라는 대수적 구조에 대해서 따로 설명하고, 이후 벡터 공간과 좌표계에 대해서 알아볼 것이다.