미분방정식을 통한 케플러 제1,2법칙의 증명

미분방정식을 통한 케플러 제1,2법칙의 증명

개요

지난 물리학 포스트에서는 미분방정식을 풀어 물체의 포물선 운동에 대해 알아보았다. 이번 포스트에서는 케플러 법칙 및 행성의 운동에 대해서 수학적으로 분석해보자. 특히, 뉴턴의 만유인력의 법칙을 통해 케플러 제1, 2법칙을 증명해보이자. 이번 포스트는 미분방정식을 사용한다는 것에 의의를 가지기 때문에 조화의 법칙인 케플러 제3법칙은 나중에 별도의 포스트로 증명하기로 한다.

이번 포스트에서는 항성 하나와 행성 하나가 공전하는 항성계를 다뤄보자. 이를 위해서 필요한 것은 뉴턴의 만유인력의 법칙, 극좌표계, 미분방정식 등이다.

일단, 누구나 아는 사실이지만 뉴턴의 만유인력의 법칙을 아래에 써본다.

$$ F = G \frac {M m} {r^2}$$

물론 $$$F$$$는 만유인력의 크기, $$$M$$$과 $$$m$$$은 두 물체의 질량, $$$r$$$은 두 물체 간 거리, $$$G$$$는 만유인력 상수이다.

그리고 이 포스트에서는 미분의 표기법으로 라이프니츠의 표기와 더불어 뉴턴의 표기도 사용할 것이다. 특히 시간에 관한 미분은 뉴턴의 표기를 사용하는 경우가 많을 것이다.

미분에서의 라이프니츠의 표기와 뉴턴의 표기는 바로 아래와 같다. 그리고 추가로 라그랑주의 표기와 오일러의 표기도 넣어보았다. 순서대로 라이프니츠, 뉴턴, 라그랑주, 오일러의 표기이다.

$$ \frac {\text d x} {\text d t} = \dot x = x' = D_t x$$

마지막으로 회전한 직교좌표계의 좌표 변환식을 아래에 써본다. 증명은 생략한다. 나중에 수학 카테고리에서 소개할 일이 있을 것이다.

$$ \begin {pmatrix} x' \\ y' \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end {pmatrix} \begin {pmatrix} x \\ y \end {pmatrix}$$

이를 통해 직교좌표계에서 극좌표계로 가속도의 성분을 변환할 수 있다.

미분방정식 세우기

일단 행성의 좌표를 $$$\left( x, y \right)$$$이라고 하자. 행성의 운동은 아무래도 힘이 $$$r$$$ 방향만 걸리기 때문에 극좌표로 나타내는 것이 좋을 것이다.

$$ \begin {cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end {cases}$$

이렇게 구한 좌표를 시간 $$$t$$$에 대해 두 번 미분하여 가속도를 산출하자.

일단 한 번 미분하자.

$$ \begin {cases} \dot x = \dot r \cos \theta - r \sin \theta \dot \theta \\ \dot y = \dot r \sin \theta + r \cos \theta \dot \theta \end {cases}$$

조금 복잡한 감이 없지는 않았지만, 연쇄법칙과 곱의 미분법만 사용하면 되는 과정이었다.

이제 한 번 더 미분하여 가속도를 구하자. 마찬가지로 계산은 조금 복잡하다.

$$ \begin {cases} \ddot x = \ddot r \cos \theta - \dot r \dot \theta \sin \theta - \dot r \dot \theta \sin \theta - r \ddot \theta \sin \theta - r \dot \theta^2 \cos \theta \\ \,\,\,\,= \ddot r \cos \theta - 2 \dot r \dot \theta \sin \theta - r \ddot \theta \sin \theta - r \dot \theta^2 \cos \theta \\ \ddot y = \ddot r \sin \theta + \dot r \dot \theta \cos \theta + \dot r \dot \theta \cos \theta + r \ddot \theta \cos \theta - r \dot \theta^2 \sin \theta \\ \,\,\,\, = \ddot r \sin \theta + 2 \dot r \dot \theta \cos \theta + r \ddot \theta \cos \theta - r \dot \theta^2 \sin \theta \end {cases}$$

역시 이 상태로는 무리이다. 극좌표로 나타내자.

$$ \begin {pmatrix} \alpha_r \\ \alpha_\theta \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end {pmatrix} \begin {pmatrix} \ddot x \\ \ddot y \end {pmatrix}$$

이라는 관계였으므로, 방금 구한 식을 대입하자.

$$ \begin {pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end {pmatrix} \begin {pmatrix} \ddot x \\ \ddot y \end {pmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=\begin {pmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ - \sin \theta & \cos \theta \end {pmatrix} \begin {pmatrix} \ddot r \cos \theta - 2 \dot r \dot \theta \sin \theta - r \ddot \theta \sin \theta - r \dot \theta^2 \cos \theta \\ \ddot r \sin \theta + 2 \dot r \dot \theta \cos \theta + r \ddot \theta \cos \theta - r \dot \theta^2 \sin \theta \end {pmatrix} \\= \begin {pmatrix} \ddot r \cos^2 \theta - 2 \dot r \dot \theta \sin \theta \cos \theta - r \ddot \theta \sin \theta \cos \theta - r \dot \theta^2 \cos^2 \theta \\+ \ddot r \sin^2 \theta + 2 \dot r \dot \theta \sin \theta \cos \theta + r \ddot \theta \sin \theta \cos \theta - r \dot \theta^2 \sin^2 \theta \\\\ - \ddot r \sin \theta \cos \theta + 2 \dot r \dot \theta \sin^2 \theta + r \ddot \theta \sin^2 \theta + r \dot \theta^2 \sin \theta \cos \theta \\+ \ddot r \sin \theta \cos \theta + 2 \dot r \dot \theta \cos^2 \theta + r \ddot \theta \cos^2 \theta - r \dot \theta^2 \sin \theta \cos \theta \end {pmatrix} \\ = \begin {pmatrix} \ddot r - r \dot \theta^2 \\ 2 \dot r \dot \theta + r \ddot \theta \end {pmatrix}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

다시 한 번 느끼지만, 뉴턴의 표기법이 없었다면 큰일이 났을 것이다. 참고로, 식정리에는 $$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$$이 이용되었다. 역시 극좌표로 정리하니 간단해졌다.

이제 $$$m \alpha_r = - G \frac {M m} {r^2}$$$이고, $$$m \alpha_\theta = 0$$$이므로, 아래의 관계가 성립한다.

$$ \begin {cases} \ddot r - r \dot \theta^2 = - \frac {GM} {r^2} \\ 2 \dot r \dot \theta + r \ddot \theta = 0 \end {cases}$$

미분방정식 풀기

이제 위에서 구한 방정식을 통해 $$$r$$$과 $$$\theta$$$의 관계를 알아보자.

일단 두 번째 식을 살펴보자. 분명 하나의 형태를 미분한 것으로 나타낼 수 있을 것 같다. 곱미분 비슷한 형태로 나타어질 수 있는 형태이기 때문이다.

$$ 2 \dot r \dot \theta + r \ddot \theta = \frac 1 r \frac {\text d} {\text d t} \left( r^2 \dot \theta \right) = 0$$

어떤 값을 시간에 대해 미분했더니 값이 $$$0$$$이 나왔다! 다시 말해, $$$r^2 \dot \theta$$$는 시간에 불변인 상수이다. 이 상수값을 $$$\mu$$$라고 하자.

$$ r^2 \dot \theta = \mu$$

무언가 떠오르는 것이 없는가? 케플러의 제2법칙인 면적 속도 일정의 법칙이다! 어쨋건 중요한 사실을 알았으니 시간에 관한 항도 하나 줄일겸, $$$\dot \theta = \frac \mu {r^2}$$$이라고 놓고 첫 번째 식에 대입하자.

$$ \ddot r - r \dot \theta^2 = \ddot r - r \left( \frac \mu {r^2} \right)^2 =\ddot r - \frac {\mu^2} {r^3} = - \frac {GM} {r^2}$$

이제 양변에 $$$r^2$$$을 곱하면,

$$ r^2 \ddot r - \frac {\mu^2} r = -GM$$

이 된다. 아무래도 시간에 관계없이 $$$r$$$과 $$$\theta$$$만의 관계를 알아내 행성의 궤도를 구하는 것이 목적이므로, $$$\ddot r$$$을 아래와 같이 처리해주자.

$$ \dot r = \frac {\text d r} {\text d t} = \frac {\text d r} {\text d \theta} \frac {\text d \theta} {\text d t} = \frac {\text d r} {\text d \theta} \dot \theta = \frac {\text d r} {\text d \theta} \frac \mu {r^2}$$

이제 이 식을 $$$r^2 \ddot r - \frac {\mu^2} r = -GM$$$에 대입하면,

$$ r^2 \ddot r - \frac {\mu^2} r\,\,\,\,\,\, \\= r^2 \frac {\text d} {\text d t} \left( \dot r \right) - \frac {\mu^2} r \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,= r^2 \frac {\text d \theta} {\text dt} \frac {\text d} {\text d \theta} \left( \dot r \right) - \frac {\mu^2} r \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= r^2 \dot \theta \frac {\text d} {\text d \theta} \left( \frac {\text d r} {\text d \theta} \frac \mu {r^2} \right) - \frac {\mu^2} r \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= \mu^2 \frac {\text d} {\text d \theta} \left( \frac 1 {r^2} \frac {\text d r} {\text d \theta} \right) - \frac {\mu^2} r \\= - G M\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

이고, 양변에서 $$$\mu^2$$$을 나눠주자.

$$ \frac {\text d} {\text d \theta} \left( \frac 1 {r^2} \frac {\text d r} {\text d \theta} \right) - \frac 1 r = - \frac {GM} {\mu^2}$$

이 때, $$$\frac 1 r = \lambda$$$로 치환하자. 그런데, 한 번 $$$\lambda$$$를 $$$\theta$$$에 관하여 미분해보자.

$$ \frac {\text d \lambda} {\text d \theta} = \frac {\text d r} {\text d \theta} \frac {\text d \lambda} {\text d r} = \frac {\text d r} {\text d \theta} \left( - \lambda^2 \right) = - \lambda^2 \frac {\text d r} {\text d \theta}$$

그렇다면,

$$ \frac 1 {r^2} \frac {\text d r} {\text d \theta} = \lambda^2 \frac {\text d r} {\text d \theta} = - \frac {\text d \lambda} {\text d \theta}$$

가 되어,

$$ \frac {\text d} {\text d \theta} \left( \frac 1 {r^2} \frac {\text d r} {\text d \theta} \right) - \frac 1 r = - \frac {{\text d}^2 \lambda} {\text d \theta^2} - \lambda = - \frac {G M} {\mu^2}$$

이다. $$$-\lambda$$$ 항을 우변으로 이항시키자.

$$ - \frac {{\text d}^2 \lambda} {\text d \theta^2} = \lambda - \frac {G M} {\mu^2}$$

이 때, $$$- \frac {G M} {\mu^2}$$$는 상수이기 때문에, 아래의 식을 만족시킨다.

$$ - \frac {{\text d}^2} {\text d \theta^2} \left( \lambda - \frac {G M} {\mu^2} \right) = - \frac {{\text d}^2 \lambda} {\text d \theta^2}$$

결국 $$$\lambda - \frac {G M} {\mu^2} = \eta$$$로 치환한다면 식은 다음과 같이 정리된다.

$$ - \frac {{\text d}^2 \eta} {\text d \theta^2} = \eta$$

굉장히 간단해졌으며, 이러한 미분방정식의 실수해는 이미 잘 알려진 꼴이며, 바로 $$$\eta = A \cos \left( \theta + \Delta \right)$$$이다. 치환된 $$$\eta$$$를 다시 $$$r$$$에 관해 나타내면 아래의 식이 된다.

$$ \frac 1 r - \frac {G M} {\mu^2} = A \cos \left( \theta + \Delta \right)$$

다시 $$$r$$$에 관해 정리하자.

$$ r = \frac 1 {A \cos \left( \theta + \Delta \right) + \frac {G M} {\mu^2}}$$

그런데 우리가 원하는 것은 궤도이므로 $$$\cos$$$ 함수에 들어있는 위상 $$$\Delta$$$는 $$$0$$$으로 놓아도 된다. 더불어 $$$l = \frac {\mu^2} {G M}, \varepsilon = l A$$$라고 놓자. 정리하면,

$$ r = \frac 1 {A \cos \theta + \frac 1 l} = \frac l {1 + \varepsilon \cos \theta}$$

이 되어 이심률 $$$\varepsilon$$$인 타원이 된다! 아, 이 방정식이 타원의 방정식이라는 것은 나중에 수학 카테고리의 기하학 항목에서 원뿔곡선과 함께 다룰 것이다.

이렇게 미분방정식을 풀어 가정한 항성계의 행성은 타원의 궤도를 그린다는 사실, 즉 케플러 제1법칙을 수학적으로 증명해보았다. 비록 행성이 하나인 특수한 경우이지만, 의미있는 결과이다. 이번 포스트는 여기에서 마무리하도록 한다.