[복소해석학] 5. 복소평면

복소해석학

5. 복소평면

개요: 이번 포스트에서는 복소평면complex plane을 정의한다. 아래에서 보면 알 수 있겠지만, 증명을 계속 넘기는 이유는 너무 자명할 뿐만이 아니라, 이 시리즈의 주제는 바로 복소해석학이기 때문이다. 그러므로, 이러한 맥락으로 그 토대를 구축해나가면 된다는 것을 보여주는 것을 목적으로 한다.

1. 복소평면

일단 실수 평면을 정의한다.

정리 5.1

$$$\left(R, +_R, \times_R\right)$$$을 환, $$$n\in\mathbb{N}_{>0}$$$이라고 한다. 다음과 같이 $$$+$$$와 $$$\times$$$를 정의하자.
$$$+: R^n \times R^n \rightarrow R^n$$$ 은 $$$\left(\alpha_1,...,\alpha_n\right)+ \left(\beta_1,...,\beta_n\right)=\left(\alpha_1+_R\beta_1,...,\alpha_n+_R\beta_n\right)$$$

$$$\times: R \times R^n \rightarrow R^n$$$ 은 $$$\lambda\times\left(\alpha_1,...,\alpha_n\right)=\left(\lambda\times_R\alpha_1,...,\lambda\times_R\alpha_n\right)$$$

으로 정의하자. 그렇다면, $$$\left(R^n,+,\times\right)_R$$$은 $$$R$$$-가군 $$$R^n$$$이다.

증명

$$$\left(R^n,+,\times\right)_R$$$이 $$$R$$$-가군이기 위해서는 아래의 세 조건을 만족함을 보이면 된다. (정의 4.1)
$$$\forall a,b \in R^n, \forall \lambda,\mu \in R$$$

$$$(1): \lambda\times\left(a+b\right)=\left(\lambda\times a\right)+\left(\lambda\times b\right )$$$

$$$(2):\left(\lambda+_R\mu\right)\times a=\left(\lambda\times a\right)+ \left(\mu \times b\right)$$$

$$$(3): \left(\lambda \times_R \mu\right)\times a = \lambda \times \left(\mu \times b\right)$$$

뭐, 모두 자명하게 성립하므로 넘어간다.

정의 5.1, 정리 5.2 실벡터 공간

$$$\mathbb R$$$를 실수 집합이라고 하자. 그러면, $$$\mathbb R$$$-가군 $$$\mathbb R^n$$$은 실벡터 공간이라고 정의하며, 이 공간이 벡터 공간임을 증명하는 것은 정의 4.6을 참고하여 3번째 포스트에 나온 정의들을 보고 간단히 확인해보면 될 것이다.

정리 5.3 좌표 평면의 순서 기저

$$$a_1, a_2 \in \mathbb R^2$$$일 때, $$$\left\{a_1,a_2\right\}$$$가 선형 독립 집합을 이룬다고 하자.(정의 4.12) 그러면, $$$\left(a_1, a_2\right)$$$는 $$$\mathbb R$$$-벡터 공간 $$$\mathbb R^2$$$의 순서 기저이다. (정의 4.16)

증명

평면 상에 직선 $$$L_1$$$과 $$$L_2$$$가 서로 만나서 이루는 점을 원점 $$$O$$$로 하자. 또한, 우리가 $$$a_1$$$과 $$$a_2$$$의 선형 결합(정의 4.10)으로 나타내고 싶은 점을 $$$P$$$라고 하자. 원점에서 $$$L_1$$$을 따라 $$$a_1$$$만큼 간 길이를 $$$L_1$$$에서의 단위 길이 1이라고 하고, $$$L_2$$$를 따라 $$$a_2$$$만큼 간 길이를 $$$L_2$$$에서의 단위 길이 1이라고 하자.

점 $$$P$$$를 지나고 $$$L_1$$$과 평행한 직선과 $$$L_2$$$와 평행한 직선을 그리자. 새로 그린 두 직선이 $$$L_1$$$과 만나는 교점의 좌표를 $$$\lambda_1$$$, $$$L_2$$$와 만나는 좌표를 $$$\lambda_2$$$라고 하면, 평행사변형 법칙에 의해 $$$P=\lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2$$$가 된다.

정의 5.2 실수 평면

평면에서의 점들은 $$$\mathbb R$$$-벡터 공간 $$$\mathbb R^2$$$과 일대일 대응이므로 $$$\mathbb R^2$$$을 실수 평면이라고 하자. 순서기저의 정의, 즉 정의 4.16에서부터 $$$\mathbb R^2$$$의 일반적인 원소는 순서쌍 $$$\left(x_1,x_2\right)$$$으로 표현될 수 있으므로, $$$\mathbb R^2$$$의 원소를 평면의 점으로 구분할 수 있고, 이 점을 그 좌표라고 할 수 있다.

정의 5.3 데카르트 좌표계

두 수직인 직선을 잡아서 이 둘을 축이라고 하자. 두 직선의 방향은 하나는 가로로, 하나는 세로로 잡는다. 이 두 축을 각각 $$$x$$$축, $$$y$$$축이라고 한다. 두 축의 교점을 원점 $$$O$$$라고 하자. 각 축은 실수 집합에 대응되며, 원점은 0에 해당한다. 실수는 $$$x$$$축에서는 좌에서 우로, $$$y$$$축에서는 하에서 상으로 증가한다.

모든 점은 다음과 같은 방식으로 $$$(x,y)$$$로 나타내어진다. 한 점을 잡고 이를 원점 $$$O$$$이라고 한다. $$$O$$$가 아닌 다른 점 $$$P$$$를 잡고, $$$O$$$와의 거리를 1로 정한다. $$$O$$$에서 $$$P$$$를 향하여 무한히 긴 직선을 그린다. 이를 $$$x$$$축이라고 하고, $$$O$$$를 지나고 $$$x$$$축과 수직하게 무한히 긴 직선을 그리고 이를 $$$y$$$축이라 하자. 그러면 $$$Q$$$를 평면 위의 임의의 점이라고 하자. $$$Q$$$를 지나며, $$$x$$$축과 $$$y$$$축에 수직한 두 직선을 그린다. $$$Q$$$에서 $$$y$$$축까지의 거리를 $$$x$$$좌표, $$$x$$$축까지의 거리를 $$$y$$$좌표라고 한다.

정의 5.3 복소평면

복소수는 순서쌍으로 나타낼 수 있으므로, $$$x+iy$$$를 실수 평면 $$$\mathbb R^2$$$에 나타낼 수 있다. $$$x$$$축은 실수축, $$$y$$$축은 허수축으로 하며, 각 축은 실수와 순허수와 대응된다. 또한, 그 좌표는 $$$(x,y)$$$이다.