Lagrange (라그랑주) 미정 승수법

오늘은! Lagrange의 미정 승수법 (Lagrange multiplier)에 대해 알아보자.

   

   

라그랑주

 

   

   

어떤 문제를 만났는데, 그 함수의 극값을 구해야한다고 하자. 

   

음... 그냥 미분을 한다음 0이 되는 값을 찾은 후 극값의 조건에 맞는지만 확인하면 된다!

   

그리고 변수가 많은 경우 이 함수를 다변수 함수로 확장한다면 이의 전미분을 생각해보면 된다.

   

   

다시 말해, 독립변수가 3개(x, y, z) 달린 함수 f(x,y,z)의 극값을 구하기 위해서는

f의 전미분 df=0을 생각하면 된다.

   

   

즉, 

   

   

 

   

   

이 0이 된다는 것이며, dx, dy, dz는 서로 독립적이므로,

   

   

   

 

 

이어야 한다.

 

여기까지는 변수가 하나있을 때와 다를 것이 없다.

 

하지만, 다음과 같이 변수에 제약을 걸어보자.

 

 

 

 

이제 어떤 한 변수는 다른 변수들에 대해 종속이 된다.

 

   

이제 이 조건에 대해 생각해보자. 

   

   

이 조건의 전미분도 0이 될 것이다.

 

 

 

 

dz에 대해 정리해보자.

 

 

 

 

이 식을 f의 전미분 식에 넣으면,

 

 

 

 

dx와 ​dy에 대해 묶자.

 

 

.....식 a

 

 

공통으로 나타나는 비율을 아래와 같이 람다로 잡자.

 

 

 

 

윗 식을 다시 써보면 아래와 같다.

 

 

 

 

그리고 람다를 식 a에 넣은 다음, dx와 ​dy가 독립적으로 움직일 수 있다는 점을 생각하면

아래와 같이 각 항이 0이 되어야 한다.

 

 

 

 

결국, 다음과 같은 새로운 함수를 정의하여, 

 

 

 

 

새로운 함수 f틸다에 대한 전미분이 0이 되어야하며, 

 

 

 

 

새로 구한 함수는 조건이 없으므로 dx, dy, dz가 독립적으로 움직여 극값에 대해서 아래 식이 만족된다.

 

 

 

 

지금까지의 논의를 변수 n개, 조건 p개로 일반화시키면 다음과 같다.

   

   

   

함수 에 대해, 조건 가 주어지면, 

   

   

상수를 준비하여 새로운 함수를 정의한 후,

 

이 함수의 극값 문제를 생각해보면 된다.

 

 

어쨋든, 지금까지 논의한 내용은 극값의 필요조건을 말한 것이다.

즉, 위의 식을 만족한다고 극값이 되는 것이 아니라, 극값이라면 저 식을 만족한다는 것이다.

 

지금까지 Lagrange 미정 승수법에 대해 알아보았다.

http://zetablog.tistory.com/5에서 그 적용 예를 찾아볼 수 있다.