Euler (오일러) 공식의 세 가지 느슨한 증명

   

많은 사람들이 보았을 이 유명한 공식의 이름은 Euler 공식이다.

그리고 이를 통해 바로 알 수 있는..

세상에서 제일 아름다운 공식이라고 하는 Euler 등식은 아래와 같다.

   

 

   

   

   

 

지폐에 담긴 오일러의 모습

   

   

이 공식에 대한 가장 간단하고 널리 알려진 증명 3가지를 소개한다.

   

   

   

   

   

   

1

 

   

아래와 같은 함수를 생각하자. 

   

   

   

 

 

이 함수의 함숫값이 항상 1이라는 것을 증명하면 되는 것이다. 

   

   

이 함수가 상수함수임을 보이기 위해 x에 대해 미분해주면 아래와 같다.

 

 

 

 

따라서 f(x)가 상수함수임은 쉽게 알 수 있었다.

 

 

 

 

x에 0을 넣어주면,

 

 

 

 

이 되어,

 

 

 

 

이 된다.

 

 

​

 

 Q.E.D.

   

   

   

   

   

   

2

   

 

아래와 같이 복소수 z를 잡자.

 

 

 

 

z를 x에 대해 미분하면,

 

 

 

 

이 되어 z는 지수함수로 표현이 될 거 같은 느낌이 온다!

 

적분을 위해 양변을 z로 나눈다.

 

 

 

 

 

 

 

적분을 하면 아래와 같다.

 

 

 

 

z는 x에 대한 함수로 볼 수 있으므로 x에 0을 넣으면 z는 1이 되어 아래와 같은 식이 나온다.

 

 

 

 

따라서 적분상수 C는 0이다.

 

 

 

 

 

Q.E.D.

 

 

 

 

 

 

3

 

모든 복소수는 복소평면위에 놓이므로 아래와 같이 정할 수 있다.

 

 

 

 

양변을 x에 대해 미분하자. (음함수 미분)

 

 

 

 

복소수 상등을 생각하면, (x, r, θ 모두 실수이므로) 허수부와 실수부는 각각 아래와 같다.

 

 

 

 

 

 

 

 결국,

 

 

 

 

이 되어,

 

 

 

 

이 된다.

 

다시 x에 0을 넣어 맨 처음 식에 넣어주면 다음과 같다.

 

 

 

 

따라서

 

 

 

 

이 되어,

 

 

 

 

이다. 

 

 

​

 

Q.E.D.

 

 

 

Euler 공식의 증명에 대해 알아보았다. 

 

이 공식의 의미는 복소 로그 함수에 대해 설명할 포스트에서 더 자세히 다루도록 한다.

 

여하튼 비슷한 느낌의 서로 다른 세 증명법을 소개해보았다.

 

이제 우리는 세상에서 제일 아름다운 사람

 

너무 늦었다..ㅠ 자야지