지금까지는 미적분, 복소해석학 등에 대한 주제를 다뤘지만, 분위기도 전환할 겸 오늘은 간단하게 방정식의 기본적인 개념과 이차방정식의 근의 공식에 대해 알아보도록 한다. 아무래도 지금까지 설명한 내용은 극소수의 관심사였을 것이다.





오늘 배울 이차방정식의 근의 공식을 익히게 된다면, 당신은 포탄의 궤적도 계산할 수 있으며, 가속도와 변위의 개념도 익힐 수 있는 밑바탕을 세우게 되는 것이므로 잘 알아두도록 하자.

방정식

방정식은 우리가 중학교 1학년, 혹은 초등학교 6학년 때 처음으로 배우는, 혹은 배웠던 개념이다. 하지만 길을 걸어가는 사람 한 명을 붙잡아 방정식의 정의를 물어본다면 제대로 대답할 수 있는 사람이 있을까? 물론 제대로 대답해야할 이유는 없지만 말이다.

마찬가지로 많은 사람들이 의문을 가지는 것이, “수학을 왜 배워야 하는가?” 이다. 대다수의 사람들은 커서 복잡한 방정식을 풀 필요도, 집합론을 공부해야 할 이유도, 미적분을 쓸 일도 없기 때문이다. 하지만 이는 다른 모든 학문에도 적용될 수 있는 질문이며, 조금만 생각해보면 이러한 학문은 일종의 선인들이 깨달은 지혜와 지식이기에 배우는 그 행위 자체에 의미를 부여할 수 있겠다.

이야기가 잠시 다른 곳으로 셌는데, 여하튼 죽기 전에 이 세상의 논리와 이치를 최대한 많이 담아두고 죽는게 나쁘지만은 않은 생각이다. (이차방정식에 대해 다루게 될 것에 비해 조금 거창한 느낌이 들지만…) 이런 의미에서 오늘은 예전에 배웠던, 혹은 앞으로 배울, 아니면 지금 배우고 있는 방정식이 무엇인지 알아보도록 하자.

방정식이란?

방정식은 하나 이상의 변수, 혹은 미지수를 가지고 있는 등식이다. 그런데 변수는 뭐고 등식은 무엇일지 궁금할 수도 있겠다. 간단히 말하자면 변수는 수식에서 변할 수 있는 값을 뜻하고, 등식은 두 수식의 관계를 등호(=)로 표시한 관계이다.

어려울 것 없다. 알기 쉽게 말하면 변수는 $$$x+1=2$$$에서의 $$$x$$$와 같은 것이고, 등식은 $$$1+1=2$$$와 같은 것을 떠올리면 된다.

어쨋든 정리하자면 방정식은 변수가 있는 등식이다. 다시 말해, 이 수는 변할 수 있는 미지의 수이다. 그런데 등호라는 관계로 엮여 있으니, 그 같다는 관계를 충족시키는 변수에 들어갈 알맞은 값이 존재할 것이다. 바로 이 알맞은 값을 구하는 것을 방정식을 푼다고 하는 것이며, 이렇게 구한 값을 방정식의 혹은 라고 한다.

이러한 방정식은 수학의 모든 분야에서 찾을 수 있는 가장 기본적인 개념 중에 하나이다. 수학에 방정식이라는 개념이 추가되는 바로 그 순간부터 수학은 산술의 개념을 벗어나기 때문이다.

그렇다면 방정식의 간단한 예를 들어보자. 아래와 같은 방정식을 생각해보자.

$$x + 1 = 0$$

이 방정식을 풀어보자. 즉, $$$x$$$에 적당한 값을 구해서 이 등식을 참으로 만들어보자. 일단 양변에서 $$$1$$$을 빼면 $$$x = -1$$$이 되는데, 이렇게 $$$x$$$를 간단하게 구했다.

하지만, 이 때 주어져야 할 조건이 있다. 예컨데 $$$x$$$의 범위와 같은 것이다. 만약 $$$x \in \{0\}$$$이라는 조건이 주어졌다면 이 방정식의 해는 $$$\{0\}$$$의 범위에서는 존재하지 않는 것이다. 물론, 아무 말이 없다면 이 방정식의 해는 $$$-1$$$이 되겠다.

이렇게 간단한 예시를 들어보았는데, 이번에는 아래의 방정식을 살펴보자.

$$3x^2 -2x = 4x +3x^2 -6x$$

일단 이 포스트는 방정식을 아얘 모른다는 가정 하에 쓰는 글이기 때문에, 차근차근 설명해보자.

일단 우변을 정리해보자. 일단 덧셈의 교환법칙을 사용하여 우변의 첫째항 $$$4x$$$를 둘째항과 맞바꾸자.

$$3x^2 + 4x - 6x$$

이 되고, 결국 결합법칙을 사용해서

$$3x^2 + \left( 4x - 6x \right)$$

이 된다. 결국,

$$3x^2 - 2x$$

로 정리된다. 이는 원래 좌변과 같은 모양이다. 즉, 이 등식은 $$$0=0$$$과 같은 형태이다. $$$x$$$에 무엇이 들어가든지에 상관이 없이 등식이 성립한다는 것이다. 이렇게 항상 참인 방정식은 항등식이라고 한다. 반대로 $$$x$$$에 어떤 값이 들어가든지와 상관 없이 거짓인 방정식은 불능이라고 한다.

방정식의 종류

이렇게 방정식의 간단한 개념을 알아보았다. 이번에는 중요한 방정식의 종류를 알아보도록 하자.

방정식은 그 꼴이나 미지수의 종류에 따라 다양하게 나눌 수 있다. 미지수가 식의 어떤 위치에 놓여있느냐 등에 따라 말이다. 그리고 이번에는 다항방정식에 대한 간단한 소개를 하여, 그의 특별한 경우인 이차방정식에 대해 알아보는 것이 목적이다.

다항방정식

말그대로 다항식에 변수가 있는 경우. 일반적으로는 다음의 꼴을 가진다.

$$P(x)=0$$

물론 $$$P(x)$$$는 다항식이다.

아래의 경우를 보자.

선형방정식 혹은 일차방정식

정리해서 미지수에 대한 최고차항의 차수가 일차인 방정식이다. 꼭 일변수일 필요는 물론 없다. 예컨데 아래의 꼴을 볼 수 있다. 변수는 $$$x_i$$$, 상수는 $$$a_i$$$이다.

$$ a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b$$

특수한 경우로 일변수일 경우에는 아래와 같이 나타내어진다.

$$ax=b$$

그리고 $$$a \neq 0$$$이라면 하나의 해를 구할 수 있고, 항상 아래와 같은 꼴이다.

$$ x = \frac b a$$

만약 $$$a = 0$$$이면, $$$b=0$$$일 경우 항등식, $$$b \neq 0$$$이면 불능이다.

이변수일 경우에는 좌표평면 위에 두 변수의 관계를 그래프로 그릴 수 있고, 그 이상의 변수는 $$$n$$$ 차 유클리드 공간, 혹은 아핀 공간에 표현할 수 있는데, 어디까지나 이는 여담일 뿐이다.

그리고 이러한 방정식은 행렬, 행렬식, 매개변수, 벡터 등 다양한 형태로 나타낼 수 있다.

이차방정식

이 경우도 꼭 일변수일 필요는 없지만, 고차의 경우에는 예시로 일변수의 경우를 들겠다.

이차방정식은 미지수에 대한 최고차항의 차수가 이차인 방정식이다.

$$ ax^2 + bx + c = 0$$

꼴로 정리되면 된다. 물론 $$$a \neq 0$$$을 잊지 말자.

그렇다면, 이런 $$$x$$$는 아래와 같이 구해줄 수 있다. (유도 과정은 잠시만 기다리자.)

$$ x = \frac {-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}} {2a}$$

이러한 이차방정식은 기원전 2000년 전부터 바빌로니아 사람들에 의해 연구된 방정식이다. 일상 생활에서도 흔히 쓰일 수 있는 방정식이기 때문이다. 일단 면적이나 평면기하만 보더라도 이차방정식은 반드시 풀 수 있어야 문제를 해결 할 수 있는 경우가 많다.

이차방정식의 해법

그렇다면, 이러한 이차방정식은 어떻게 해를 구할 수 있을까? 유도과정을 알아보도록 하자. 다시 말해, 이차방정식의 근의 공식을 유도해보자.

이차방정식의 근의 공식의 유도

일단, 모든 이차방정식은 아래와 같은 꼴로 정리될 수 있음을 다시 한 번 기억해두자. 아래의 형태를 이차방정식의 일반형the standard form of a quadratic equation이라고 한다.

$$ ax^2 + bx + c = 0 \ \ \ (a \neq 0)$$

이제 조금 간단히 하기 위해서 양변을 $$$a$$$로 나눈다. 이는 이차방정식의 정의에서 $$$a\neq0$$$이라는 조건이 깔려있기에 가능한 것이다.

$$ x^2 + \frac b a x + \frac c a = 0$$

이제, 위 식을 $$$\left(x+p\right)^2 + q$$$의 꼴로 변형시키자. 즉, 제곱항과 상수항만 남겨놓자는 것이다. 이렇게 하는 의도는 바로 제곱항에 제곱근을 씌워준다면 일차방정식의 형태로 변형이 되기 때문이다. 그렇다면, 일단 방금 언급한 $$$\left(x+p\right)^2 + q$$$를 전개한 후, $$$x^2 + \frac b a x + \frac c a = 0$$$과 그 형태를 비교해보자.

$$ \left(x+p\right)^2 + q=x^2+2px+p^2+q$$

이제 각 항의 계수 비교를 통해 p와 q를 결정하자.

$$ x^2+2px+p^2+q = x^2 + \frac b a x + \frac c a$$

이므로, 쉽게 $$$p$$$$$$q$$$를 결정할 수 있다.

$$ p = \frac b {2a}\\q = \frac c a - p^2 \\\ \ \ \ \ = \frac c a - \frac {b^2} {4a^2}\\\ \ \ \ \ =\frac {4ac-b^2}{4a^2}$$

그렇다면, 아래와 같이 정리됨을 알 수 있다.

$$ \left(x+\frac b {2a}\right)^2 + \frac {4ac-b^2}{4a^2} = 0$$

제곱항에 제곱근을 씌워주기 위해 상수항은 우변으로 넘겨주자.

$$ \left(x+\frac b {2a}\right)^2 = \frac {{b^2}-4ac}{4a^2}$$

양변에 제곱근을 씌워줄 때는 $$$\pm$$$을 잊지 말자.

$$ \sqrt {\left(x+\frac b {2a}\right)^2} = \pm \sqrt{\frac {{b^2}-4ac}{4a^2}}$$

따라서,

$$ x+\frac b {2a} = \frac {\pm\sqrt{{b^2}-4ac}}{2a}$$

이제 좌변의 상수항도 우변으로 넘겨주면,

$$ x = \frac {-b\pm\sqrt{{b^2}-4ac}}{2a}$$

드디어 구하고자 했던 근의 공식을 구하게 되었다. 이상으로 포스트를 마무리한다.

  1. sk jeong 2015.03.31 23:14

    요건 수학 선생님들께서 꼭 보셔야 될 내용이네요. 수학 선생님들의 기계적인 풀이 방식에서 요런 내용을 꼭 학생들에게 가르쳐 주시길....
    조카에게 완전 제곱 형태를 먼저 설명하여 주고 유도하여 주었더니... 빨리 이해를 하더리구요..

  2. 개쩔엉@ 2017.05.01 19:26

    잘봣습니다.이런건 첨봣어요!

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