1. 수 체계에 관한 간단한 개요

   

인간은 생활에 필요한 수인 자연수를 제일 먼저 고안해내었다. 진화와 더불어 자연스레 익힌 개념일 것이다. 물론, 이도 엄청난 발전인 것이다. 사과가 한 개 있는 것과 나무가 한 그루가 있는 것 등의 공통된 성질에 대한 자각인 것이다. 사과와 나무는 엄연히 다른 대상임에도 불구하고, 수에 대한 개념을 간파한 것이다. 이런 능력을 지닌 동물들은 소수에 불과하다. 

이렇게 인간은 생활 속에서 자연수를 이해하였다. 그리고 시간이 흘러 비율을 나타내기 위해 유리수의 개념이 도입되고, 일부 문명권에서는 0, 음수, 무리수의 발견으로 이어졌다. 예를 들자면 음수는 중국의 구장산술에서 최초로 언급되며, 무리수는 인도에서 최초로 언급되었다. 그러나, 무리수의 존재에 관한 증명은 히파소스에 의해 최초로 이뤄진다. 

그러나 이런 수체계에 대한 보편적인 이해는 훨씬 이후에나 이뤄진다. 0의 보편적 이해는 고대 그리스 시대에도 잘 이뤄지지 않았다. 특히 음수의 개념은 라이프니츠와 그가 개발한 미적분학에 의해 완전히 정립되기 전까지만 해도 여러 수학자들은 음수의 존재를 부정하였다. 무리수에 대한 보편적 이해는 중세에 와서 완전히 이뤄졌다. 그리고 이런 무리수의 개념은 이차방정식의 해를 구하는데에 있어서 필수적이었다. 마지막으로 복소수는 헤론이 음수의 제곱곤을 생각하면서 처음 언급되었으며, 고차 방정식의 해를 구하는 과정에서 허수의 도입이 불가피함이 알려진다. 그리고 허수의 개념은 가우스가 이를 널리 알림으로써 보편적으로 받아들여지게 된다. 

   

물론, 수체계에 대한 역사적인 발견은 실제 수 체계의 범위랑은 조금 맞지 않다. 이렇게 발견된 주요 수 체계를 가장 작은 체계부터 나열하면, 자연수 N, 이에 음의 정수들을 포함한 체계인 정수 체계 Z,  a와 b 가 정수이며 b가 0이아닐 때, a/b 의 집합인 유리수 체계 Q, 유리수에 무리수를 포함한 실수 체계 R, 그리고 허수 i를 추가한 복소수 체계 C 순이 된다.

이런 수집합의 포함관계를 나타내면 아래와 같이 나타낼 수 있다.

 

그리고 각 집합에서 사칙연산에 대한 성질이 조금씩 다르게 나타나는데, 자세한 것은 뒤에 가서 알아보도록 한다. 어쨋든, 수 체계는 일반적인 방법(고차 다항식의 해를 구하기 위해 새로운 수를 도입하는 방법)으로는 더 이상 확장되지 않는 가장 큰 범위의 수이다. 이는 바로 "복소수를 계수로 가지는 1차 이상의 다항식은 반드시 복소수 해를 가진다"는, 대수학의 기본정리를 통해 알 수 있다. 즉, 복소수체는 대수적으로 닫혀있다는 것을 의미한다.

물론, 수 체계는 이것이 전부가 아니다. 복소수의 발견으로 인간의 사고는 확장되었고, 좀 더 자유로워졌다. 논리적으로 명확하다면, 어떠한 수 체계이든지 만들 수 있다. 위에서 언급한 수 이외에도, 무한대나 무한소를 포함하는 수라든지, 사원수와 같은 고차원 대수도 존재한다. 단지, 어떤 연산을 통해 없던 수가 발견이 되는 현상은 복소수 체계에서는 발생하지 않는다는 것이다. 하지만 이 글에서는 복소수까지만 다룰 것이며, 추가적으로 정수에서의 합동 대수를 다룰 것이다.


 

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