복소 로그 함수와 복소 지수, 그리고 다가성 (multivaluedness)

추석 연휴라 하라는 숙제는 안하고 시간이 많이 남아 수식을 치는 시간이 굉장히 오래 걸림에도 불구하고 활발하게 포스팅을 할 수 있네요.

   

우선 제목을 보면...

복소 로그 함수, 복소 지수도 생소하고 다가성도 생소할 수 있다.

뭐, 딱히 어려운 개념은 아니다. 

복소 로그 함수는 수학자들이 좋아하는 일반화와 확장을 로그 함수의 정의역에 적용한 것이다.

우리는 복소수의 사칙연산도 할 수 있으며, 지수 연산도 가능한데

(http://zetablog.tistory.com/9 참고)

로그 함수라고 못할 것이 있겠는가.

복소 지수도 마찬가지이다.

   

이 포스트에서 우리는 로그 함수와 지수의 정의역을 복소수로 확장하고,

이에 따라 나타나는 복소 로그 함수와 복소 지수에 따른 흥미로운 성질을 알아보도록 한다.

아, 물론 너무 깊이까지 들어가지는 않을 것이다.

   

복소 로그 함수에 대해 알아보기 전에 간단히 다가성에 대해 알아보자.

   

어떤 함수가 다가성을 지닌다고 하면, 그 함수는 다가 함수라고 한다.

다가? Multi-value? ....설마 함숫값이 여러개..?!

   

그렇다. 다가 함수의 함숫값은 여러 개이다.

   

함수의 정의와 상반되는 말이지만, 어쩌겠는가.

이게 바로 다가 함수이다.

(사실 다가 함수 자체가 옳게 선정된 단어는 아니지만, 이미 굳어진 표현이다.)

   

이미 우리는 제곱근을 배울 때 다가성을 배웠다. 

어떤 수의 제곱근은 2개, 세제곱근은 3개, ..., n제곱근은 n개의 값을 가진다는 것이 바로 다가 함수의 예이다.

또한, 부정적분도 다가 함수라고 볼 수 있다. 

적분 상수가 미정이기 때문이다.

삼각함수의 역함수 또한 다가 함수임은 쉽게 알 수 있다. 

그리고 이 리스트에 우리는 복소 로그 함수를 추가하게 될 것이다.

   

   

오일러 공식에 따라 우리는 모든 복소수는 아래와 같은 극형식으로 나타낼 수 있다는 것을 알고 있다.

   

   

 

   

즉, 원점에서 거리가 r이고 x축으로부터 각도, 즉 편각이 θ인 복소수에 대해서 말이다. 

그리고 이런 극형식이 유용한 이유는 크기가 같은 두 복소수를 곱했을 때, 그 값은 단순히 편각을 더한 복소수가 되고, 편각이 같은 두 복소수를 더했을 때는 단순히 크기만 더해지는 복소수가 나오기 때문이다.

이를 통해 우리는 어떤 수에 i를 곱하는 것은 그 복소수가 복소평면에서 반시계방향으로 pi/2회전하는 것을 의미하며, -1을 곱하는 것은 i를 두번 곱한 것이므로 pi, 1은 2pi를 회전시키는 것임을 손쉽게 알 수 있다.

정말 멋진 해석이다. 

수의 연산을 기하학적으로 풀어낸 것이다.

특히, 뒤에 나올 1의 n제곱근에 대한 기하학적 해석에서 멋진 일이 발생함을 알 수 있다.

(그래도 이해가 안되면 http://blog.naver.com/tommytom611/220116689497​을 참고하자!)

   

우리는 방금 w에 대한 식에서 2(pi)in을 찾아볼 수 있었다. 

즉, n에 임의의 정수값을 넣어줌으로써 극형식을 바꿔줄 수 있다.

복수수의 편각(theta)은 2pi의 주기성이 있기 때문이다. 

극형식 말고 삼각함수로 나타낸 식에서는 보다 자명히 알 수 있는 사실이다.

   

이제 저 식을 우리가 흔히 알고 있는 자연로그를 양변에 씌워주자.



 (복소 로그 함수의 정의이다.)

   

   

음... 그렇군.

   

   

로그에 복소수가 들어오니 그 값도 여러개가 될 수 있는 거구나~

   

좀 싱겁게 끝난 감이 없지 않아 있지만, 복소 지수로 넘어가자.

마찬가지로 w와 z가 복소수라고 했을 때, 복소 지수는 아래와 같이 생각해 볼 수 있을 것이다.



(마찬가지로 정의이다.)


이를 활용해서 i^i 같은, 무척이나 추상적인 수를 생각해볼 수 있다. 

   

   

단위 허수의 단위 허수 승이라니, 뭔가 재미있는 수가 나올 것 같다.

   

과연 그럴까?

   

아래와 같이 변형시키자.

   

   

ln i는 위에 소개했던 방법으로 찾아보면 아래와 같다.



 

   

이는 i의 크기는 1, 각도는 90도, 즉 pi/2이기 때문이며, 이 편각에 n바퀴를 더하여도 상관없기 때문에 나오는 결과이다.

   

   

   

이를 i^i에 대입하면,



 

이 된다!!

   

   

   

놀랍게도 i^i는 실수이다.

마치 (-1)*(-1)은 양수인 느낌이랄까..?

   

복소 지수의 개념을 따르면 우리는 일반적인 n제곱근에 대해서도 재미있는 성질을 확인할 수 있다.

 

1의 n제곱근을 생각해보자.

1의 n제곱근은 다시 말해 x^n=1의 해이며, n개의 해를 가지게 된다.

이 해들을 구하기 위해 아래와 같이 변형시키자.

   

음... 아직 마음에 와닿지 않는다면!

우리는 맨 처음에 언급했던, "i를 곱하는 것은 pi/2 회전"을 생각해보자.

방금 구한 1^(1/6)에서 n=1을 생각해보고, 이 수를 ε이라고 하자.

ε은 말 그대로 pi/3, 즉 60도 회전을 의미하는 수인 것이다!

ε​^2은 120도, ε​^3은 180도, 즉 -1, ε​^4, ε​^5, 해서 다시 ε​^6은 원래 위치, 즉 1인 것이다.

   

이를 복소평면에 올리면 반지름이 1이며 중심이 원점인 원에 내접하며, 1과 -1을 지나는 정육각형이 되는 것이다!​

다시 말해, 우리는 1의 n제곱근은 방금의 경우와 같이 정n각형을 그린다는 것을 알 수 있다!

   

뿐만 아니라, 우리가 방금 찾은 수는 유한 곱셈군을 형성한다.

   

   

 

   

   

이들 중 어떤 두개를 골라 곱하면 다른 원소가 나오는 것도 확인할 수 있다.

다시 말해 ε^1 * ε​^2 = ε​^3처럼 말이다.

곱셈표를 만들어보아도 쉽게 알 수 있다. 

   

어쨋든, 이와 같이 지수와 로그의 정의역을 복소수로 확장하면 다가성과 함께 여러 재밌는 성질을 찾아볼 수 있다.

   

그리고 이런 다가성을 다루는 방식으로 Riemann은 정의역의 평면을 여러 겹으로(?) 만드는 방식을 만들었다고 한다. 

이를 리만 곡면이라고 하는데, 이에 대해서는 아마 다루지 않을 가능성이 높다.

그냥 이런게 있다고만 소개할 것이며, 이유는 본인도 이 개념에 대해서 깊게 이해하고 있지 않기 때문이다.

더 자세히 알게 된다면 물론 자세히 포스팅도 할 것이다.

어쨋든, 언급은 하였기 때문에 간단히 설명해본다.

 

리만 곡면은 여러 겹으로 복소 평면을 만들어 다가 함수를 일가 함수로 만들어버린다.

즉, z값을 원점을 따라 한 바퀴 돌리더라도, 그렇게 만든 z값은 층이 다르기 때문에 문제가 사라지는 것이다.

예를 들어, 로그 함수는 그 값이 무한개, 지수가 m/n인 유리수이면 n바퀴를 돌고 다시 하나로 합쳐지는 복소 평면을 생각하면 된다. 

뭐, 시각화를 위해 log z와 z^(1/2)의 리만 곡면을 울프람 알파를 통해 그려보았다.

 

 

   

 

음... 이 포스트와 이전 포스트를 통해서 복소수가 멋지다는 것을 알았으면 좋겠다.

특히, 이번 포스트를 완전히 이해했다면, 복소수에 관련된 지수나 로그 연산은 어느정도 능숙하게 다룰 수 있을 것이다.

 

 

여러분, 그렇다면 루트 i는 얼마인까요? (모두 이미 알고 있을 것 같은 건 기분 탓)