[복소해석학] 1-부록. 복소수에 대한 설명
오늘은 엄밀함을 논하지 않고 복소수에 대해서 이야기하려고 한다.
아무래도 지난 1. 복소수의 정의 및 기본 성질(링크)을 이해하지 못하겠다는 분들이 계셔서, 지난번 포스트를 해석하고,
고등학교 정규 교육과정에서 다루는 복소수의 여러 성질에 대해서 알아보도록 한다.
[지난 포스트 정리]
지난번 포스트에서 복소수는 두 실수의 순서쌍으로 나타내었다.
첫번째 성분은 실수부, 두번째 성분은 허수부가 될 것이다. (정의 1.1)
그리고 새로운 수를 정의했으니, 그 수의 연산을 정의하는 것이 자연스러울 것이다.
그래서 덧셈과 곱셈을 정의 1.2, 1.3을 통해 정의했다.
그렇다면 복소수에서의 덧셈과 곱셈도 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙이 성립할까?
이 의문을 해소할 정리는 바로 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5였다.
증명은 단순한 식정리에 불과하다 (아 물론 식 정리 과정에서는 증명되지 않은 내용을 사용할 수 없다.)
정리 1.6에서는 실수 집합이 복소수 집합에 포함되며, 따라서 정의 1.4처럼 실수 a = (a,0)으로 나타내어도 된다는 것을 알았다.
정리 1.7에서는 정리 1.1~1.5에서 미처 소개하지 못한 항등원을 소개하였다.
왠지 i를 0과 1에 대해 설명한 바로 다음에 설명하는 것이 좋을 것 같았기 때문이다.
i를 정의 1.5와 정리 1.8(i의 제곱은 -1!(팩토리얼이 아니다))을 통해 소개한 후,
a+bi 꼴, 즉 표준 표기법을 소개하였다. (정리 1.9)
"4. 복소수 집합은 가환환이다!"는 결국 복소수가 체임을 증명하기 위한 일종의 렘마였다.
그래서 이부분에서는 덧셈에 대한 역원이 존재함을 보였다.
그리고 이 섹션에서 복소수 상등을 증명했는데, 사실 노파심이었다.
다음 섹션이 지난 포스트의 대미를 완성하는! ㅎㅎ 부분이었다.
바로 복소수 집합은 체이다라는 것을 증명하는 부분이었다.
이를 증명하기 위해서는 곱셈의 역원이 존재함을 보여야했으며 (물론 0제외),
이것을 위해 우리는 정의 1.6을 통해 복소켤레를 정의했다.
정리 1.13에서 정리 1.19까지는 고등학교 내용에서 다루는 그런 복소켤레의 성질들을 엄밀하게 증명한 것이다.
결국 하고 싶은 말은 정리 1.20이었다. 곱셈에 대한 역원의 존재성.
이를 통해 정리 1.21, 복소수 집합은 체이라는 것을 밝혔다.
즉, 지난 포스트를 통해 우리가 건진 것은 바로, "체의 온갖 성질은 이제 복소수 집합에도 적용된다"라는 것이다.
이상 지난 포스트에 대한 설명이었다..
그렇다면 우리는 이제 복소수에 대한 informal(음.. 비공식적..? 즉 엄밀하지 않은)한 이야기를 해보도록 한다.
i는 바로 허수단위이며, 제곱해서 -1이 되는 수이다.
즉, i^2 = -1이다.
그리고 만약 a>0이면, 
이런 수를 도입한 이유는 바로 이차방정식, 혹은 고차방정식의 해를 구하는 과정에서 근호 안에 음수가 들어가는 문제가 발생하였기 때문이다. (혹은 그 해가 복소수였거나)
예를 들어보자.
x^2 = -1
이 방정식의 해는 실수 집합에서는 존재하지 않는다.
하지만 삼차방정식의 근을 구하는 과정에서 수학자들은 놀라운 사실을 발견한다.
바로 근의 공식에 i가 등장한다는 것이다.
비록 삼차방정식의 해 세 개가 전부 실수라고 할 지라도, 근의 공식에는 i가 등장한다는 것이다.
음.. 이야기가 좀 새는 듯 하지만, 아래의 식이 바로 삼차방정식의 근의 공식이다.
...흠...(사실 x_2, x_3는 x_1과 재미있는 관계가 있지만 그건 나중으로 미뤄두자.)
그리고 시간이 흘러 점차 수학자들은 우리가 현재 복소수라고 부르는 수도 수로 인정하게 된다.
복소수의 연산에 관해서는 덧셈 뺄셈은 문제될 것이 없다.
문자식 계산과 같기 때문이다.
예를 들어, 
실수는 실수부끼리, 허수는 허수부끼리 연산하면 된다.
복소수의 곱셈은 분배법칙을 사용해, i^2=-1이라는 사실을 적극 활용한다.
이런 식으로 말이다.
나눗셈은 조금 더 복잡하다. 분수 무리식 계산에서 분모의 유리화와 같은 이치이다.
분모에 허수가 나오면 조금 그러니깐 표준 표기법으로 바꿔준다.
이를 위해서는 분모 분자에 분모의 켤레를 곱해주면 된다.
음.. 이정도면 복소수가 나오는 기본적인 문제들은 대부분 풀 수 있을 것이다. ^^
그런데 쓰고 보니 이거 그냥 복소수 계산에 관한 포스팅이다.