라그랑주의 운동방정식

라그랑주의 운동방정식

개요

지난 시간에는 이번 포스트가 단진자에 관한 것이라고 계획했었지만 계획은 깨지니깐 계획이죠이 틀어졌다. 지난 물리 포스트와 연계를 해서 오늘은 라그랑주의 운동방정식Lagrange’s equation of motion에 대해 알아보도록 한다.

어떠한 개념을 정의할 때, 적어도 고등학교 때까지는 어떤 개념의 정의를 절대불변의 이치로 여기는 경우가 많다. 예를 들자면 등변사다리꼴의 정의는 두 밑각의 크기가 같은 사다리꼴이다와 같은 것들 말이다. 사다리꼴에서 평행하지 않은 두 대변의 길이가 같은 사각형으로 정의하여도 크게 문제될 것이 없는데도, 이러한 정의는 잘못된 것으로 치부된다. 하지만 분명히, 틀에 박힌 정의라는 것은 존재할 수가 없다. 다른 예를 들자면, 공리계를 생각해볼 수 있다. 괴델의 불완정성의 원리에 의해 완벽하고 무모순적인 수학 체계는 만들어질 수 없기 때문에, 우리는 처음의 시작점을 다른 공리계로 잡을 수 있다. 선택 공리를 넣느냐 마느냐, 즉 ZFC 집합론이냐 ZF 집합론이냐, 혹은 더 나아가 NBG 집합론이냐 등, 다른 공리로 시작된, 그러나 대부분의 정리에 관해서는 동치인 집합론을 생각해 볼 수 있다.

물리에서도 사정은 비슷하다. 살짝 다른 개념일 수도 있겠지만, 우리의 세계는 (고전적으로는) 뉴턴의 운동법칙으로 잘 설명된다. 뿐만 아니라, 굉장히 논리적으로 설명할 수 있다. 조금 벗어난 이야기이지만, 이는 굉장히 놀라운 일이다. 우리는 다행히 논리적으로 설명할 수 있는 우주에서 살고 있다는 것이기 때문이다. 다시 돌아가서, 뉴턴의 운동법칙은 결국은 $$$F = m a$$$를 만족하는 운동법칙이라고 볼 수 있고, 말로 표현하자면, “A에게 힘을 가하면 $$$\rightarrow$$$ A가 가속도를 가진다” 쯤으로 나타낼 수 있을 것이다. 정형적인 원인과 결과, 즉 인과론적인 법칙인 것이다. 하지만 과연 이런 관점만이 타당한 것일까? 물론 뉴턴 역학만을 접해본 사람들은 이를 지극히 당연한 사실로 받아들인다. 그러나 우리는 목적론적인 관점으로도 우주를 바라볼 수 있다. 바로 라그랑주 역학이다.

물론, 뉴턴 역학과 라그랑주 역학은 (다행히도) 수학적으로 동치란 말을 하고 시작하도록 하자.

참고로, 이번 포스트를 이해하기 위해서는 변분과 오일러-라그랑주 방정식에 대해 알아야 하며, 이를 위해서는 수학 항목에 있는 링크로 연결된 다음의 포스트를 이해하면 된다. 오일러-라그랑주 방정식과 변분법

변분의 계산

일단 다음과 같이 정의하자. 바로 변분 표기법의 정의다. 틸다($$$\tilde {}$$$)가 붙은 것은 원래의 함수에서 변수를 미소하게 이동시킨 함수이다. 변분을 하는 양끝 구간에서는 그 값이 일치된다.

$$ \delta f = f \left( \tilde y (x) \right) - f \left( y (x) \right) \\ \delta y = \tilde y (x) - y (x)$$

사실 오일러-라그랑주 방정식과 변분법에서도 같은 개념을 위 표기법을 사용하지 않고 사용했었다. $$$\epsilon \eta(x)$$$이 바로 위의 $$$\delta y$$$에 해당하는 부분이다. 어쨋든, 매우 간단히 얘기하자면, 변분은 함수의 변수를 미소하게 이동시켜 원래의 함수를 뺀 값이라고 보면 된다.

이제 우리는 $$$\delta f$$$를 테일러 전개할 것이다.

$$ \delta f = f \left( x + \delta x \right) - f (x)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= f (x) + \delta x \frac {f'(x)} {1!} + \mathrm {H.O.T.} - f(x) \\ = f'(x) \delta x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

방금 말했듯이, $$$\delta x$$$는 굉장히 미소한 양, 혹은 $$$\epsilon \eta(x)$$$에서 $$$\epsilon$$$이 $$$0$$$에 다가가는 값이기 때문에, $$$\delta x$$$에 관하여 이차항 이상의 항(H.O.T., Higher Order Terms)들은 무시해도 된다.

또한 변분과 미분은 같이 있을 때 위치를 바꾸어도 된다. 즉,

$$ \delta \left( \frac {\mathrm d x} {\mathrm d y} \right)= \frac {\mathrm d \tilde x} {\mathrm d y} - \frac {\mathrm d x} {\mathrm d y} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\ \,\,\,\,\,\,= \frac {\mathrm d} {\mathrm d y} \left( \tilde x - x \right) \\ = \frac {\mathrm d} {\mathrm d y} \left( \delta x \right)\,\,\,$$

이다. 이 둘을 잘 기억해두자.

라그랑주 운동방정식의 유도

이제 라그랑주 운동방정식을 유도해보도록 한다.

상황을 간단하게 하기위해, 어떤 질량이 $$$m$$$인 질점이 외력을 받아 $$$A$$$라는 위치에서 $$$B$$$라는 위치로 이동했다고 하자. 그리고 운동방향은 $$$x$$$방향으로 직선운동하였다고 하자. 두 점의 좌표는 $$$A\left(x_1\right)$$$, $$$B\left(x_2\right)$$$이라고 하자. 그리고 속력을 $$$v$$$, 운동 에너지와 퍼텐셜 에너지를 각각 $$$T$$$, $$$U$$$라고 하자. 물론 이들의 변수를 조금 이동한 것들은 모두 위에 틸다를 붙인다.

운동 에너지 $$$T$$$의 변분을 구하자. 일단은 $$$v$$$를 변수로 가진다고 생각해도 무방하다.

$$ \delta T = \delta \left( \frac 1 2 m v^2 \right) = m v \delta v = mv \delta \left( \frac {\mathrm d x} {\mathrm d t} \right) = m v \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \delta x \right)$$

이제 $$$\delta T$$$를 시간에 대해 적분하자.

$$ \int_{t_1}^{t_2} \delta T \mathrm d t = \int_{t_1}^{t_2} mv \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \delta x \right) \mathrm d t$$

여기서 쓸 수 있는 공식, 바로 부분적분 공식을 사용하자.

$$ \int_{t_1}^{t_2} mv \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \delta x \right) \mathrm d t = m v \delta x \big |_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( m v \right) \delta x \mathrm d t$$

그리고 변분의 정의에 따라, $$$\delta x$$$는 $$$t_1$$$과 $$$t_2$$$에서 $$$0$$$이다. 따라서, 우변의 첫째 항은 사라지고, 둘째 항을 정리하면,

$$ m v \delta x \big |_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( m v \right) \delta x \mathrm d t = - \int_{t_1}^{t_2} m \frac {\mathrm d v} {\mathrm d t} \delta x \mathrm d t$$

이렇게 깔끔하게 정리를 끝냈다. 이제 퍼텐셜 에너지에 대해서 생각해보자. 일단 우리는 보존력, 예컨데 중력과 같은,에 의해서만 운동하는 질점을 생각하자. 다시 말해, 퍼텐셜 에너지 $$$U$$$에서만 가속도를 얻는 상황을 생각하자. 수학적으로 표현하자면,

$$ m \frac {\mathrm d^2 x} {\mathrm d t^2} = - \frac {\mathrm d U} {\mathrm d x}$$

또한, 변분의 계산 부분에서 언급했듯이,

$$ \delta U = \frac {\mathrm d U} {\mathrm d x} \delta x$$

이다. 두 식을 연립하여 변형하면,

$$ \delta U = - m \frac {\mathrm d^2 x} {\mathrm d t^2} \delta x = - m \frac {\mathrm d v} {\mathrm d t} \delta x$$

따라서 $$$\delta U$$$를 적분하면,

$$ \int_{x_1}^{x_2} \delta U \mathrm d t = - \int_{x_1}^{x_2} m \frac {\mathrm d v} {\mathrm d t} \delta x \mathrm d t$$

오옷, 이렇게 $$$\delta T$$$와 $$$\delta U$$$를 시간에 대해 적분한 값이 같아졌다. 그렇다면,

$$ \int_{x_1}^{x_2} \left( \delta T - \delta U \right) \mathrm d t = \int_{x_1}^{x_2} \delta \left( T - U \right) \mathrm d t = \delta \int_{x_1}^{x_2} \left( T - U \right) \mathrm d t = 0$$

이 된다. 아…아니?! 이것은 바로 $$$\int_{x_1}^{x_2} \left( T - U \right) \mathrm d t$$$가 정류값을 가진다는 것 아닌가? 그럼 오일러-라그랑주 방정식을 적용시킬 수 있을 것이다.

일단, $$$T-U$$$가 중요한 것 같으니 $$$\mathcal L = T - U$$$로 하자. 사실 $$$\mathcal L$$$은 라그랑지안Lagrangian이다. 그리고 $$$\mathcal L$$$은 물체의 위치, 속도, 시간이 모두 중요한 함수이므로 $$$\mathcal L \left( x, \dot x, t \right)$$$으로 쓸 수 있겠다.

오일러-라그랑주 방정식을 적용하면,

$$ \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \frac {\partial \mathcal L} {\partial \dot x} \right) - \frac {\partial \mathcal L} {\partial x} = 0$$

이 된다. 이것이 바로 라그랑주의 운동방정식이다. 그리고 알아둘 것이, 라그랑지안은 일반화 좌표에서도 그대로 적용된다. 따라서 $$$\mathcal L \left( q, \dot q, t \right)$$$으로 할 수 있다. 결국 아래와 같이 수정해 쓸 수 있다.

$$ \frac {\mathrm d} {\mathrm d t} \left( \frac {\partial \mathcal L} {\partial \dot q} \right) - \frac {\partial \mathcal L} {\partial q} = 0$$

또한, $$$\frac {\partial \mathcal L} {\partial \dot q}$$$에서,

$$ \frac {\partial \mathcal L} {\partial \dot q} = \frac {\partial T} {\partial \dot q} = \frac {\partial} {\partial \dot q} \left( \frac 1 2 m \dot q^2 \right) = m \dot q$$

(퍼텐셜 에너지 $$$U$$$는 $$$\dot q$$$에 대해 미분하면 $$$0$$$이므로)이므로, 운동량을 나타내고 있는 것이다.

어쨋든, 이렇게 라그랑지안을 간단하게 알아보았다.

다음 시간에는 라그랑주 역학을 통해서 미분방정식을 통한 포물선 운동의 증명, 미분방정식을 통한 케플러 제1,2법칙의 증명에서 나온 미분방정식을 굉장히 손쉽게 구하는 마법과 같은 일과, 이어 포스팅을 미뤘던 단진자의 운동에 관해서도 포스팅을 할 계획이다. 물론 우리가 오늘 구해낸 라그랑주 역학이라는 강력한 도구를 통해서 말이다.